中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)二次函數(shù)專(zhuān)項(xiàng)綜合練習(xí)-資料下載頁(yè)
2025-03-31 07:14本頁(yè)面
【正文】 接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊△APR，等邊△AGQ，連接QR①求證：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M（，）；（3）①證明見(jiàn)解析；②PA+PC+PG的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣，）．【解析】試題分析：（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入拋物線即可解決問(wèn)題．（2）首先求出A、C、D坐標(biāo)，根據(jù)BE=2ED，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，求出直線CE，利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)M．（3）①欲證明PG=QR，只要證明△QAR≌△GAP即可．②當(dāng)Q、R、P、C共線時(shí)，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM==求出AM，CM，利用等邊三角形性質(zhì)求出AP、PM、PC，由此即可解決問(wèn)題．試題解析：（1）∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，∴，解得：，∴b=﹣2，c=3．（2），對(duì)于拋物線，令y=0，則，解得x=﹣3或1，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（1，0），∵AD=DC=2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（﹣1，0），∵BE=2ED，∴點(diǎn)E坐標(biāo)（，1），設(shè)直線CE為y=kx+b，把E、C代入得到：，解得：，∴直線CE為，由，解得或，∴點(diǎn)M坐標(biāo)（，）．（3）①∵△AGQ，△APR是等邊三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60176。，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，∵AQ=AG，∠QAR=∠GAP，AR=AP，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．②如圖3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴當(dāng)Q、R、P、C共線時(shí)，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60176。，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30176。，∵∠QGA=60176。，∴∠QGO=90176。，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（﹣6，），在RT△QCN中，QN=，CN=7，∠QNC=90176。，∴QC==，∵sin∠ACM==，∴AM=，∵△APR是等邊三角形，∴∠APM=60176。，∵PM=PR，cos30176。=，∴AP=，PM=RM=，∴MC==，∴PC=CM﹣PM=，∵，∴CK=，PK=，∴OK=CK﹣CO=，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣，），∴PA+PC+PG的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣，）．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；最值問(wèn)題；壓軸題．14．如圖，直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，∠ACB=90176。，拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，作MD∥y軸交BC于點(diǎn)D，求△DMH周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，在Rt△BOC中由三角函數(shù)定義可求得∠OCB=60176。，則在Rt△AOC中可得∠ACO=30176。，利用三角函數(shù)的定義可求得OA，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（3）由平行線的性質(zhì)可知∠MDH=∠BCO=60176。，在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出DM的長(zhǎng)，從而可表示出△DMH的周長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．試題解析： （1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60176。，∵∠ACB=90176。，∴∠ACO=30176。，∴=tan30176。=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+；（3）∵M(jìn)D∥y軸，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60176。，則∠DMH=30176。，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周長(zhǎng)=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴當(dāng)DM有最大值時(shí)，其周長(zhǎng)有最大值，∵點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，∴可設(shè)M（t，﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，DM有最大值，最大值為，此時(shí)DM==，即△DMH周長(zhǎng)的最大值為．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，三角函數(shù)的定義，4方程思想15．如圖1,拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為軸于點(diǎn)．將拋物線平移后得到頂點(diǎn)為且對(duì)稱(chēng)軸為直的拋物線．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2,在直線上是否存在點(diǎn),使是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若以為頂點(diǎn)的三角形與全等,求直線的解析式．【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為,；（3）的解析式為或.【解析】分析：（1）把和代入求出a、c的值，進(jìn)而求出y1，再根據(jù)平移得出y2即可；（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為,設(shè),已知，過(guò)點(diǎn)作軸于,分三種情況時(shí)行討論等腰三角形的底和腰，得到關(guān)于t的方程，解方程即可；（3）設(shè),則,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得,分點(diǎn)在直線的左側(cè)或右側(cè)時(shí),結(jié)合以構(gòu)成的三角形與全等求解即可.詳解:(1)由題意知，解得， 所以,拋物線y的解析式為；因?yàn)閽佄锞€平移后得到拋物線,且頂點(diǎn)為，所以拋物線的解析式為，即： ；(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為,設(shè),已知，過(guò)點(diǎn)作軸于,則 ， ，當(dāng)時(shí)，即，解得或；當(dāng)時(shí),得，無(wú)解；當(dāng)時(shí),得,解得。綜上可知,在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)使是等腰三角形,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為,.(3)設(shè),則,因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng),所以,情況一:當(dāng)點(diǎn)在直線的左側(cè)時(shí), ,又因?yàn)橐詷?gòu)成的三角形與全等,當(dāng)且時(shí),可求得,即點(diǎn)與點(diǎn)重合所以,設(shè)的解析式,則有解得,即的解析式為,當(dāng)且時(shí),無(wú)解,情況二:當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí), ,同理可得的解析式為,綜上所述, 的解析式為或.點(diǎn)睛：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解答（1）問(wèn)的關(guān)鍵是求出a、c的值，解答（2）、（3）問(wèn)的關(guān)鍵是正確地作出圖形，進(jìn)行分類(lèi)討論解答，此題有一定的難度．
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