中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合練習(xí)題含答案-資料下載頁
2025-03-31 07:29本頁面
【正文】 解得a=.∴拋物線的解析式為y=.（2）存在t，使得△ADC與△PQA相似．理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，則tan∠ACO=，∵tan∠OAD=，∴∠OAD=∠ACO，∵直線l的解析式為y=，∴D（0，﹣），∵點C（0，﹣），∴CD=，由AC2=OC2+OA2，得AC=，在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC與△PQA相似，只需或，則有或，解得t1=，t2=，∵t1＜，t2＜，∴存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②存在t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大，理由：作PF⊥AQ于點F，CN⊥AQ于N，在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=，在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，在△ADC中，由S△ADC= ，∴CN=，∴S△AQP+S△AQC= ，∴當t=時，△APQ與△CAQ的面積之和最大.點睛：本題為代數(shù)、幾何綜合題，考查待定系數(shù)法、相似三角形判定、二次函數(shù)最值，應(yīng)用了分類討論和數(shù)形結(jié)合思想．13．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點C（0，2）和點D（4，﹣2）．點E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點．（1）求二次函數(shù)的解析式及點E的坐標．（2）如圖①，若點M是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時點M的坐標．（3）如圖②，經(jīng)過A、B、C三點的圓交y軸于點F，求點F的坐標．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐標為（，3）；（3）F坐標為（0，﹣）．【解析】【分析】1）把C與D坐標代入二次函數(shù)解析式求出a與c的值，確定出二次函數(shù)解析式，與一次函數(shù)解析式聯(lián)立求出E坐標即可；（2）過M作MH垂直于x軸，與直線CE交于點H，四邊形COEM面積最大即為三角形CME面積最大，構(gòu)造出二次函數(shù)求出最大值，并求出此時M坐標即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A與B坐標，由圓周角定理及相似的性質(zhì)得到三角形AOC與三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的長，即可確定出F坐標．【詳解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數(shù)解析式得： ，解得： ，即二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+x+2，聯(lián)立一次函數(shù)解析式得：，消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，解得：x=0或x=3，則E（3，1）；（2）如圖①，過M作MH∥y軸，交CE于點H，設(shè)M（m，﹣m2+m+2），則H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四邊形COEM=S△OCE+S△CME=23+MH?3=﹣m2+3m+3，當m=﹣=時，S最大=，此時M坐標為（，3）；（3）連接BF，如圖②所示，當﹣x2+x+20=0時，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴ ，即 ，解得：OF=，則F坐標為（0，﹣）．【點睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，以及圖形與坐標性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．14．如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結(jié)AM、BM．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；（3）把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其頂點為（m，2m），當m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣1；（2）△ABM為直角三角形．理由見解析；（3）當m≤時，平移后的拋物線總有不動點．【解析】試題分析：（1）分別寫出A、B的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；根據(jù)OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分別得到∠MAC＝45176。，∠BAC＝45176。，得到∠BAM＝90176。，進而得到△ABM是直角三角形；（3）根據(jù)拋物線的平以后的頂點設(shè)其解析式為，∵拋物線的不動點是拋物線與直線的交點，∴，方程總有實數(shù)根，則≥0，得到m的取值范圍即可試題解析：解：（1）∵點A是直線與軸的交點，∴A點為（1，0）∵點B在直線上，且橫坐標為2，∴B點為（2，3）∵過點A、B的拋物線的頂點M在軸上，故設(shè)其解析式為：∴，解得：∴拋物線的解析式為．（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90176。．理由如下：作BC⊥軸于點C，∵A（1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45176。；點M是拋物線的頂點，∴M點為（0，1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90176?！唷螹AC＝45176。；∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90176。∴△ABM是直角三角形．（3）將拋物線的頂點平移至點（，），則其解析式為．∵拋物線的不動點是拋物線與直線的交點，∴化簡得：∴＝＝當時，方程總有實數(shù)根，即平移后的拋物線總有不動點∴．考點：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（待定系數(shù)法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判別式）15．如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：①當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；②試說明無論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】【分析】（1）把點C、D的坐標代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點A的坐標，然后求出AO、AM的長，即可得證。（3）①k=0時，求出AM、BN的長，然后代入計算即可得解；②設(shè)點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入進行計算即可得解?！驹斀狻拷猓海?）∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得。∴拋物線的解析式為y=x2﹣1。（2）證明：設(shè)點A的坐標為（m，m2﹣1），則?！咧本€l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點M的縱坐標為﹣2?！郃M=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1?！郃O=AM。（3）①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴。②k取任何值時，設(shè)點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），則。聯(lián)立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=16k2+8，x12?x22=16?！?。∴無論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)1。
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