天津中考數(shù)學(xué)培優(yōu)專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)練習(xí)題-資料下載頁(yè)
2025-04-01 00:12本頁(yè)面
【正文】 為y=x2，則Q（m，m2+m+2）、M（m，m2），由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據(jù)此列出關(guān)于m的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90176。，利用△DOB∽△MBQ得，再證△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此時(shí)m的值；②∠BQM=90176。，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△BOD∽△BQM′，易得點(diǎn)Q坐標(biāo)．詳解：（1）由拋物線過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）可設(shè)解析式為y=a（x+1）（x4），將點(diǎn)C（0，2）代入，得：4a=2，解得：a=，則拋物線解析式為y=（x+1）（x4）=x2+x+2；（2）由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2），設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，將B（4，0）、D（0，2）代入，得：，解得：，∴直線BD解析式為y=x2，∵QM⊥x軸，P（m，0），∴Q（m，m2+m+2）、M（m，m2），則QM=m2+m+2（m2）=m2+m+4，∵F（0，）、D（0，2），∴DF=，∵QM∥DF，∴當(dāng)m2+m+4=時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=1（舍）或m=3，即m=3時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形；（3）如圖所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下兩種情況：①當(dāng)∠DOB=∠MBQ=90176。時(shí)，△DOB∽△MBQ，則，∵∠MBQ=90176。，∴∠MBP+∠PBQ=90176。，∵∠MPB=∠BPQ=90176。，∴∠MBP+∠BMP=90176。，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴，即，解得：m1=m2=4，當(dāng)m=4時(shí)，點(diǎn)P、Q、M均與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，∴m=3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）；②當(dāng)∠BQM=90176。時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△BOD∽△BQM′，此時(shí)m=1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）；綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）或（1，0）時(shí)，以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似．點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及分類討論思想的運(yùn)用．14．如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)A(,3) 和B(3,0)，過(guò)點(diǎn)A作直線AC//x軸，交y軸與點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為D，連接OA，使得以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（4 ,6）或（, ）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）或（2，15）【解析】【分析】（1）把A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出解析式；（2）設(shè)P坐標(biāo)為，表示出AD與PD，由相似分兩種情況得比例求出x的值，即可確定出P坐標(biāo)；（3）存在，求出已知三角形AOC邊OA上的高h(yuǎn)，過(guò)O作OM⊥OA，截取OM=h,與y軸交于點(diǎn)N，分別確定出M與N坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線MN解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出Q坐標(biāo)即可．【詳解】（1）把，和點(diǎn)，代入拋物線得：，解得：，則拋物線解析式為；（2）當(dāng)在直線上方時(shí)，設(shè)坐標(biāo)為，則有，當(dāng)時(shí)，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)時(shí)，也滿足；當(dāng)在直線下方時(shí)，同理可得：的坐標(biāo)為，綜上，的坐標(biāo)為，或，或，或；（3）在中，，根據(jù)勾股定理得：， ，，邊上的高為，過(guò)作，截取，過(guò)作，交軸于點(diǎn)，如圖所示：在中，即，過(guò)作軸，在中，，即，設(shè)直線解析式為，把坐標(biāo)代入得：，即，即，聯(lián)立得：，解得：或，即，或，則拋物線上存在點(diǎn)，使得，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．【點(diǎn)睛】二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．15．如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在直線BC上．（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求拋物線的對(duì)稱軸和函數(shù)表達(dá)式；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）（3）詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理，翻折的性質(zhì)可得AB=BD=CD=AC，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）根據(jù)對(duì)稱軸公式可得拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求M的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（3）分點(diǎn)P在CD的上面下方和點(diǎn)P在CD的上方兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點(diǎn)P的坐標(biāo)：設(shè)P,當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面下方，根據(jù)菱形的性質(zhì)，知點(diǎn)P是AD與拋物線的交點(diǎn)，由A,D的坐標(biāo)可由待定系數(shù)法求出AD的函數(shù)表達(dá)式:,二者聯(lián)立可得P1（）；當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面上方，易知點(diǎn)P是∠D的外角平分線與拋物線的交點(diǎn)，此時(shí)，∠D的外角平分線與直線AD垂直，由相似可知∠D的外角平分線PD的斜率等于－2，可設(shè)其為，將D（10，8）代入可得PD的函數(shù)表達(dá)式:,與拋物線聯(lián)立可得P2（﹣5，38）．【詳解】（1）證明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），∴AB=6+4=10，．∴AB=AC．由翻折可得，AB=BD，AC=CD．∴AB=BD=CD=AC．∴四邊形ABCD是菱形．∴CD∥AB．∵C（0，8），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，8）．（2）∵y=ax2﹣10ax+c，∴對(duì)稱軸為直線．設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，∴，解得．∴直線BC的解析式為y=﹣2x+8．∵點(diǎn)M在直線y=﹣2x+8上，∴n=﹣25+8=﹣2．∴M（5，－2）.又∵拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和M，∴，解得．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（3）存在．點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（），P2（﹣5，38）
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