【正文】 線的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位線定理．2．已知二次函數(shù)的最大值為4，且該拋物線與軸的交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為.（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，①求的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1），點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①最大值是，的坐標(biāo)為，②的取值范圍為或或.【解析】【分析】（1）先利用對(duì)稱軸公式x=，計(jì)算對(duì)稱軸，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），再將兩點(diǎn)代入列二元一次方程組求出解析式；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：可知P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)|PCPD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先把函數(shù)中的絕對(duì)值化去，可知，此函數(shù)是兩個(gè)二次函數(shù)的一部分，分三種情況進(jìn)行計(jì)算：①當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（0，3），即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（3，0）重合時(shí)，兩函數(shù)有兩個(gè)公共點(diǎn)，寫(xiě)出t的取值；②線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|22a|x|+c（x≥0）時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求t的值；③當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（3，0）重合時(shí)，線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|22a|x|+c（x＜0）時(shí)也有一個(gè)公共點(diǎn)，則當(dāng)t≤3時(shí)，都滿足條件；綜合以上結(jié)論，得出t的取值．【詳解】解：（1）∵，∴的對(duì)稱軸為.∵人最大值為4，∴拋物線過(guò)點(diǎn).得，解得.∴該二次函數(shù)的解析式為.點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）①∵，∴當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取得最大值.連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，.∴的最大值是.易得直線的方程為.把代入，得.∴此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.②的解析式可化為設(shè)線段所在直線的方程為，將，的坐標(biāo)代入，可得線段所在直線的方程為.（1）當(dāng)線段過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí).∴當(dāng)時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).（2）當(dāng)線段過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí).當(dāng)線段過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)線段與函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).（3）將帶入，并整理，得..令，解得.∴當(dāng)時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).綜上所述，的取值范圍為或或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，先利用待定系數(shù)法求解析式，同時(shí)把最大值與三角形的三邊關(guān)系聯(lián)系在一起；同時(shí)對(duì)于二次函數(shù)利用動(dòng)點(diǎn)求取值問(wèn)題，從特殊點(diǎn)入手，把函數(shù)分成幾部分考慮，按自變量從大到小的順序或從小到大的順序求解．3．已知如圖，拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸交直線AC于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段PD長(zhǎng)度的最大值；（3）△APD能否構(gòu)成直角三角形？若能請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M使|MA﹣MC|最大？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）點(diǎn)P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PD的長(zhǎng)度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；（3）①∠APD是直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，②求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷出點(diǎn)P為在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，∠PAD是直角，分別寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（4）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知MA=MB，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點(diǎn)M為直線CB與對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求解即可．試題解析：解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，則y=3，∴點(diǎn)C（0，3），則直線AC的解析式為y=﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y軸，∴點(diǎn)D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+．∵a=﹣1＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，線段PD的長(zhǎng)度有最大值；（3）①∠APD是直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)，點(diǎn)P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）．∵A（3，0），∴點(diǎn)P為在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，∠PAD=45176。+45176。此時(shí)，點(diǎn)P（2，﹣1）．綜上所述：點(diǎn)P（1，0）或（2，﹣1）時(shí)，△APD能構(gòu)成直角三角形；（4）由拋物線的對(duì)稱性，對(duì)稱軸垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三邊關(guān)系，|MA﹣MC|＜BC，∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，|MA﹣MC|最大，為BC的長(zhǎng)度，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣3x+3．∵拋物線y=x2﹣4x+3的對(duì)稱軸為直線x=2，∴當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣32+3=﹣3，∴點(diǎn)M（2，﹣3），即，拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的對(duì)稱性以及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，（2）整理出PD的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，（3）關(guān)鍵在于利用點(diǎn)的坐標(biāo)特征作出判斷，（4）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)M的位置是解題的關(guān)鍵．4．如圖所示，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于、兩點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)．求拋物線的函數(shù)解析式；求的面積；能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn)，使的面積最大？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．O39。點(diǎn)C39。C39。C39。（1+t，3﹣t）．設(shè)直線O39。的解析式為y=3x+b，將C39。C39。利用△DOB∽△MBQ得，再證△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此時(shí)m的值；②∠BQM=90176。時(shí)，△DOB∽△MBQ，則，∵∠MBQ=90176?！摺螹PB=∠BPQ=90176。∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴，即，解得：m1=m2=4，當(dāng)m=4時(shí)，點(diǎn)P、Q、M均與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，∴m=3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）；②當(dāng)∠BQM=90