【正文】 數(shù)綜合題；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；最值問(wèn)題；壓軸題．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，﹣），OA=1，OB=4，直線l過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，且滿足tan∠OAD=．（1）求拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸正方形以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AE以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△ADC與△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②當(dāng)t=時(shí)，△APQ與△CAQ的面積之和最大.【解析】分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式（2）①分別用t表示△ADC、△PQA各邊，應(yīng)用分類(lèi)討論相似三角形比例式，求t值；②分別用t表示△APQ與△CAQ的面積之和，討論最大值．詳解：（1）∵OA=1，OB=4，∴A（1，0），B（﹣4，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣1），∵點(diǎn)C（0，﹣）在拋物線上，∴﹣，解得a=.∴拋物線的解析式為y=.（2）存在t，使得△ADC與△PQA相似．理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，則tan∠ACO=，∵tan∠OAD=，∴∠OAD=∠ACO，∵直線l的解析式為y=，∴D（0，﹣），∵點(diǎn)C（0，﹣），∴CD=，由AC2=OC2+OA2，得AC=，在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC與△PQA相似，只需或，則有或，解得t1=，t2=，∵t1＜，t2＜，∴存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②存在t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大，理由：作PF⊥AQ于點(diǎn)F，CN⊥AQ于N，在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=，在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，在△ADC中，由S△ADC= ，∴CN=，∴S△AQP+S△AQC= ，∴當(dāng)t=時(shí)，△APQ與△CAQ的面積之和最大.點(diǎn)睛：本題為代數(shù)、幾何綜合題，考查待定系數(shù)法、相似三角形判定、二次函數(shù)最值，應(yīng)用了分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想．13．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2）和點(diǎn)D（4，﹣2）．點(diǎn)E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)．（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖②，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐標(biāo)為（，3）；（3）F坐標(biāo)為（0，﹣）．【解析】【分析】1）把C與D坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a與c的值，確定出二次函數(shù)解析式，與一次函數(shù)解析式聯(lián)立求出E坐標(biāo)即可；（2）過(guò)M作MH垂直于x軸，與直線CE交于點(diǎn)H，四邊形COEM面積最大即為三角形CME面積最大，構(gòu)造出二次函數(shù)求出最大值，并求出此時(shí)M坐標(biāo)即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A與B坐標(biāo)，由圓周角定理及相似的性質(zhì)得到三角形AOC與三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的長(zhǎng)，即可確定出F坐標(biāo)．【詳解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數(shù)解析式得： ，解得： ，即二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+x+2，聯(lián)立一次函數(shù)解析式得：，消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，解得：x=0或x=3，則E（3，1）；（2）如圖①，過(guò)M作MH∥y軸，交CE于點(diǎn)H，設(shè)M（m，﹣m2+m+2），則H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四邊形COEM=S△OCE+S△CME=23+MH?3=﹣m2+3m+3，當(dāng)m=﹣=時(shí)，S最大=，此時(shí)M坐標(biāo)為（，3）；（3）連接BF，如圖②所示，當(dāng)﹣x2+x+20=0時(shí)，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴ ，即 ，解得：OF=，則F坐標(biāo)為（0，﹣）．【點(diǎn)睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，以及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．14．如圖，頂點(diǎn)M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，連結(jié)AM、BM．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷△ABM的形狀，并說(shuō)明理由；（3）把拋物線與直線y=x的交點(diǎn)稱(chēng)為拋物線的不動(dòng)點(diǎn)．若將（1）中拋物線平移，使其頂點(diǎn)為（m，2m），當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)．【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣1；（2）△ABM為直角三角形．理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)m≤時(shí)，平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)．【解析】試題分析：（1）分別寫(xiě)出A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；根據(jù)OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分別得到∠MAC＝45176。得到∠BAM＝90176。．理由如下：作BC⊥軸于點(diǎn)C，∵A（1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45176?！唷螹AC＝45176?！唷鰽BM是直角三角形．（3）將拋物線的頂點(diǎn)平移至點(diǎn)（，），則其解析式為．∵拋物線的不動(dòng)點(diǎn)是拋物線與直線的交點(diǎn)，∴化簡(jiǎn)得：∴＝＝當(dāng)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根，即平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)∴．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（待定系數(shù)法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判別式）15．如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：①當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；②試說(shuō)明無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）詳見(jiàn)解析（3）詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。（3）①k=0時(shí)，求出AM、BN的長(zhǎng)，然后代入計(jì)算即可得解；②設(shè)點(diǎn)A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解?！鄴佄锞€的解析式為y=x2﹣1。∵直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣2。∴AO=AM。②k取任何值時(shí)，設(shè)點(diǎn)A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），則?！?。