天津中考數(shù)學(xué)培優(yōu)專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)練習(xí)題(編輯修改稿)
2025-04-01 00:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 C的解析式為y=3x，直線OD的解析式為yx．如解答圖所示，設(shè)平移中的三角形為△A39。O39。C39。，點C39。在線段CD上．設(shè)O39。C39。與x軸交于點E，與直線OD交于點P；設(shè)A39。C39。與x軸交于點F，與直線OD交于點Q．設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t，0），Q（1+t，t），C39。（1+t，3﹣t）．設(shè)直線O39。C39。的解析式為y=3x+b，將C39。（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直線O39。C39。的解析式為y=3x﹣4t，∴E（t，0）．聯(lián)立y=3x﹣4t與yx，解得：xt，∴P（t，t）．過點P作PG⊥x軸于點G，則PGt，∴S=S△OFQ﹣S△OEPOF?FQOE?PG（1+t）（t）?t?t（t﹣1）2當(dāng)t=1時，S有最大值為，∴S的最大值為．【點睛】本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、平行四邊形、平移變換、圖形面積計算等知識點，有一定的難度．第（2）問中，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形定義，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）問中，解題的關(guān)鍵是求出S的表達(dá)式，注意圖形面積的計算方法．7．已知，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使PA+PC的值最?。咳绻嬖?，請求出點P的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；（3）設(shè)點M在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△MAC是直角三角形時，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）當(dāng)?shù)闹底钚r，點P的坐標(biāo)為；（3）點M的坐標(biāo)為、或.【解析】【分析】由點A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時取最小值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點B的坐標(biāo)，由點B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，利用配方法可求出拋物線的對稱軸，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點P的坐標(biāo)；設(shè)點M的坐標(biāo)為，則，，分、和三種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，進(jìn)而即可得出點M的坐標(biāo)．【詳解】解：將、代入中，得：，解得：，拋物線的解析式為．連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時取最小值，如圖1所示．當(dāng)時，有，解得：，點B的坐標(biāo)為．拋物線的解析式為，拋物線的對稱軸為直線．設(shè)直線BC的解析式為，將、代入中，得：，解得：，直線BC的解析式為．當(dāng)時，當(dāng)?shù)闹底钚r，點P的坐標(biāo)為．設(shè)點M的坐標(biāo)為，則，．分三種情況考慮：當(dāng)時，有，即，解得：，點M的坐標(biāo)為或；當(dāng)時，有，即，解得：，點M的坐標(biāo)為；當(dāng)時，有，即，解得：，點M的坐標(biāo)為綜上所述：當(dāng)是直角三角形時，點M的坐標(biāo)為、或【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次一次函數(shù)解析式、二次一次函數(shù)圖象的點的坐標(biāo)特征、軸對稱中的最短路徑問題以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：由點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；由兩點之間線段最短結(jié)合拋物線的對稱性找出點P的位置；分、和三種情況，列出關(guān)于m的方程．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x+a﹣3，當(dāng)a＝0時，拋物線與y軸交于點A，將點A向右平移4個單位長度，得到點B．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）將拋物線在直線y＝a上方的部分沿直線y＝a翻折，圖象的其他部分保持不變，得到一個新的圖象，記為圖形M，若圖形M與線段AB恰有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；【解析】【分析】（1）由題意直接可求A，根據(jù)平移點的特點求B；（2）圖形M與線段AB恰有兩個公共點，y＝a要在AB線段的上方，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點A時，AB與函數(shù)兩個交點的臨界點；【詳解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點A時，a＝0，∵圖形M與線段AB恰有兩個公共點，∴y＝a要在AB線段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【點睛】本題二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象的特點，函數(shù)與線段相交的交點情況是解題的關(guān)鍵．9．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點P是線段BD上一點，當(dāng)PE＝PC時，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標(biāo)為（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得，∴所求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接PC，PE．拋物線的對稱軸為x＝＝1．當(dāng)x＝1時，y＝4，∴點D的坐標(biāo)為（1，4）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，則， 解得．∴直線BD的解析式為：y＝2x+6，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），則PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，則y＝﹣22+6＝2，∴點P的坐標(biāo)為（2，2）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．10．如圖1，拋物線經(jīng)過點、兩點，是其頂點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點的坐標(biāo)；（2）如圖2，直線經(jīng)過點，是拋物線上的一點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為（），連接并延長，交拋物線于點，交直線l于點，求的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、在直線下方的拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（
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