【文章內(nèi)容簡介】 式，∴，∴，∴y=+x+2；（2）∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，∴D（0，2）．設(shè)直線BD的解析式為y=kx2．∵將（4，0）代入得：4k2=0，∴k=．∴直線BD的解析式為y=x2．當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，△BQM是直角三角形，此時(shí)Q（1，0）；當(dāng)BQ⊥BD時(shí)，△BQM是直角三角形，則直線BQ的直線解析式為y=2x+8，∴2x+8=+x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（1，0）；（3）兩個(gè)和諧點(diǎn)；AO=1，OC=2，設(shè)A1（x，y），則C1（x+2，y1），O1（x，y1），①當(dāng)AC1在拋物線上時(shí)，∴，∴，∴A1的橫坐標(biāo)是1；當(dāng)OC1在拋物線上時(shí)，∴，∴A1的橫坐標(biāo)是；【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)等；分類討論思想的運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接. （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動點(diǎn)，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，.【解析】分析：（1）把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可； （2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DG⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，表示△ADE的面積，運(yùn)用二次函數(shù)分析最值即可； （3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．詳解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過點(diǎn)D作DN⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如圖， 設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，∴當(dāng)m=時(shí)，△ADE的面積取得最大值為． （3）y=的對稱軸為x=﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當(dāng)PA=PE時(shí)，=，解得：n=1，此時(shí)P（﹣1，1）； 當(dāng)PA=AE時(shí)，=，解得：n=，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）； 當(dāng)PE=AE時(shí)，=，解得：n=﹣2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問題時(shí)解決此題的關(guān)鍵．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x軸于A，B(1，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝x+3的圖象交坐標(biāo)軸于A，D兩點(diǎn)，E為直線AD上一點(diǎn)，作EF⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)F(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)F位于直線AD的下方，請問線段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由；(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)G，使得G，E，D，C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；(2)，(，)；(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；（2）由函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m+3），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m， m2+m﹣1），由此得到EF＝﹣m2+m+4，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可；（3）分三種情形①如圖1中，當(dāng)EG為菱形對角線時(shí)．②如圖3中，當(dāng)EC為菱形的對角線時(shí)，③如圖4中，當(dāng)ED為菱形的對角線時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：(1)將y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，0)．設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x﹣x 1)(x﹣x 2)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；(2)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，m+3)，線段EF的長度為y，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m，m 2+m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( m 2+m﹣1)＝﹣m 2+m+4即y＝(m﹣) 2+，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)；(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如圖1，當(dāng)四邊形CGDE為菱形時(shí)．∴EG垂直平分CD∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y＝＝1，將y＝1帶入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG關(guān)于y軸對稱，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，1)；②如圖2，當(dāng)四邊形CDEG為菱形時(shí)，以點(diǎn)D為圓心，DC的長為半徑作圓，交AD于點(diǎn)E，可得DC＝DE，構(gòu)造菱形CDEG設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(n，n+3)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，3)∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2，﹣2+3)或(2，2+3)將點(diǎn)E向下平移4個(gè)單位長度可得點(diǎn)G，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣2，﹣2﹣1)(如圖2)或(2，2﹣1)(如圖3)③如圖4，“四邊形CDGE為菱形時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長為半徑作圓，交直線AD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(k，k+3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，﹣1)．∴EC＝＝．∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣4，﹣1)將點(diǎn)E上移1個(gè)單位長度得點(diǎn)G．∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣4，3)．綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)． 【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、軸對稱變換、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最值問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．10．