【文章內容簡介】 式，∴，∴，∴y=+x+2；（2）∵點C與點D關于x軸對稱，∴D（0，2）．設直線BD的解析式為y=kx2．∵將（4，0）代入得：4k2=0，∴k=．∴直線BD的解析式為y=x2．當P點與A點重合時，△BQM是直角三角形，此時Q（1，0）；當BQ⊥BD時，△BQM是直角三角形，則直線BQ的直線解析式為y=2x+8，∴2x+8=+x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（1，0）；（3）兩個和諧點；AO=1，OC=2，設A1（x，y），則C1（x+2，y1），O1（x，y1），①當AC1在拋物線上時，∴，∴，∴A1的橫坐標是1；當OC1在拋物線上時，∴，∴A1的橫坐標是；【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質等；分類討論思想的運用是本題的關鍵．8．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交軸于點、交軸于點，在軸上有一點，連接. （1）求二次函數的表達式；（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數的解析式為；（2）當時，的面積取得最大值；（3）點的坐標為，.【解析】分析：（1）把已知點坐標代入函數解析式，得出方程組求解即可； （2）根據函數解析式設出點D坐標，過點D作DG⊥x軸，交AE于點F，表示△ADE的面積，運用二次函數分析最值即可； （3）設出點P坐標，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．詳解：（1）∵二次函數y=ax2+bx+c經過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過點D作DN⊥x軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖， 設D（m，），則點F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，∴當m=時，△ADE的面積取得最大值為． （3）y=的對稱軸為x=﹣1，設P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）； 當PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標為（﹣1，）； 當PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P坐標為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點的坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．點睛：本題主要考查二次函數的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關鍵．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x軸于A，B(1，0)兩點，交y軸于點C，一次函數y＝x+3的圖象交坐標軸于A，D兩點，E為直線AD上一點，作EF⊥x軸，交拋物線于點F(1)求拋物線的解析式；(2)若點F位于直線AD的下方，請問線段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點E的坐標；若沒有，請說明理由；(3)在平面直角坐標系內存在點G，使得G，E，D，C為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點G的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；(2)，(，)；(3)點G的坐標為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系數法確定函數關系式；（2）由函數圖象上點的坐標特征：可設點E的坐標為（m，m+3），點F的坐標為（m， m2+m﹣1），由此得到EF＝﹣m2+m+4，根據二次函數最值的求法解答即可；（3）分三種情形①如圖1中，當EG為菱形對角線時．②如圖3中，當EC為菱形的對角線時，③如圖4中，當ED為菱形的對角線時，分別求解即可．【詳解】解：(1)將y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴點A的坐標為(﹣3，0)．設拋物線的解析式為y＝a(x﹣x 1)(x﹣x 2)，點A的坐標為(﹣3，0)，點B的坐標為(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵點C的坐標為(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；(2)設點E的坐標為(m，m+3)，線段EF的長度為y，則點F的坐標為(m，m 2+m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( m 2+m﹣1)＝﹣m 2+m+4即y＝(m﹣) 2+，此時點E的坐標為(，)；(3)點G的坐標為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如圖1，當四邊形CGDE為菱形時．∴EG垂直平分CD∴點E的縱坐標y＝＝1，將y＝1帶入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG關于y軸對稱，∴點G的坐標為(2，1)；②如圖2，當四邊形CDEG為菱形時，以點D為圓心，DC的長為半徑作圓，交AD于點E，可得DC＝DE，構造菱形CDEG設點E的坐標為(n，n+3)，點D的坐標為(0，3)∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．∴點E的坐標為(﹣2，﹣2+3)或(2，2+3)將點E向下平移4個單位長度可得點G，點G的坐標為(﹣2，﹣2﹣1)(如圖2)或(2，2﹣1)(如圖3)③如圖4，“四邊形CDGE為菱形時，以點C為圓心，以CD的長為半徑作圓，交直線AD于點E，設點E的坐標為(k，k+3)，點C的坐標為(0，﹣1)．∴EC＝＝．∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．∴點E的坐標為(﹣4，﹣1)將點E上移1個單位長度得點G．∴點G的坐標為(﹣4，3)．綜上所述，點G的坐標為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)． 【點睛】本題考查二次函數綜合題、軸對稱變換、菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最值問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．10．