初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)的專(zhuān)項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題(含答案)及答案(編輯修改稿)
2025-03-31 22:07 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝1．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，則， 解得．∴直線BD的解析式為：y＝2x+6，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），則PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，則y＝﹣22+6＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．8．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）E的坐標(biāo)為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【解析】試題分析：（1）采用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式；（2）先求得直線BC的解析式為，則可設(shè)E（m，），然后分三種情況討論即可求得；（3）利用△PBD的面積即可求得．試題解析：（1）∵二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為；（2）由二次函數(shù)可知對(duì)稱軸x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函數(shù)可知B（0，﹣4），設(shè)直線BC的解析式為，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)E（m，），當(dāng)DC=CE時(shí)，即，解得，（舍去），∴E（，）；當(dāng)DC=DE時(shí)，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；當(dāng)EC=DE時(shí)，解得=，∴E（，）．綜上，存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，∵△PBD的面積===，∴當(dāng)m=時(shí)，△PBD的最大面積為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．9．在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=axa為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“衍生直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“衍生三角形”．已知拋物線與其“衍生直線”交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為 ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“衍生直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2，）；（1,0）；（2）N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），（0，）；（3）E（1，）、F（0，）或E（1，），F(xiàn)（4，）【解析】【分析】（1）由拋物線的“衍生直線”知道二次函數(shù)解析式的a即可；（2）過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則可知AN=AC，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，則可求出ON的長(zhǎng)，可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分別討論當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，求出滿足條件的E、F坐標(biāo)即可【詳解】（1）∵，a=，則拋物線的“衍生直線”的解析式為；聯(lián)立兩解析式求交點(diǎn)，解得或，∴A（2，），B（1,0）；（2）如圖1，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，在中，令y=0可求得x= 3或x=1，∴C（3,0），且A（2，），∴AC=由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，∵△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，∴N在y軸上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，∵OD=，∴ON=或ON=，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），（0，）；（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖2 ，過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，∴ F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或2，∵點(diǎn)F在直線AB上，∴當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0時(shí)，則F（0，），此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方，∴E到y(tǒng)軸的距離為EHOF==，即E的縱坐標(biāo)為，∴ E（1，）；當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，則F與A重合，不合題意，舍去；②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵ C（3,0），且A（2，），∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（， ），設(shè)E（1，t），F(xiàn)（x，y），則x1=2（），y+t=，∴x= 4，y=t，t=（4）+，解得t=，∴E（1，），F(xiàn)（4，）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)E（1，）、（0，）或E（1，），F(xiàn)（4，）【點(diǎn)睛】本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合知識(shí)考查，熟練掌握二次函數(shù)，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題10．如圖，拋物線的圖象過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M（不與C點(diǎn)重合），使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)，周長(zhǎng)為：；（3）存在，點(diǎn)M坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）由于條件給出拋物線與x軸的交點(diǎn)，故可設(shè)交點(diǎn)式，把點(diǎn)C代入即求得a的值，減小計(jì)算量．（2）由于點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸：直線對(duì)稱，故有，則，所以當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí)，最?。命c(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求AC、CB的長(zhǎng)，求直線BC解析式，把代入即求得點(diǎn)P縱坐標(biāo)．（
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