【文章內容簡介】 0，4）、（﹣4，0）；（3）當m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點A、B、C的坐標，從而求得直線CD的表達式；（3）設點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達式，將直線OP和CD表達式聯立并解得點Q坐標，由此求得，從而求得y＝﹣m2﹣m+3，故當m＝﹣，y最大值為；（4）由直線AB的解析式可得AB的“姊線”CD的表達式y(tǒng)＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得點C、D的坐標，由此可得點H坐標，同理可得點G坐標，由勾股定理得：m值，即可求得點A、B、C的坐標，從而得到 “母線”函數的表達式．【詳解】（1）由題意得：k＝﹣3，b＝6，則答案為：y＝（x+6）；（2）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2或﹣4，點A、B、C的坐標分別為（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），則直線CD的表達式為：y＝（x+4）＝x+2；（3）設點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，則直線OP的表達式為：y＝x，將直線OP和CD表達式聯立得，解得：點Q（，）則＝﹣m2﹣m+4，y＝＝﹣m2﹣m+3，當m＝﹣，y最大值為；（4）直線CD的表達式為：y＝﹣（x+3），令x＝0，則y＝﹣，令y＝0，則x＝﹣3，故點C、D的坐標為（﹣3，0）、（0，﹣），則點H（﹣，﹣），同理可得：點G（﹣，），則GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），則點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），則“母線”函數的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母線”函數的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3．【點睛】此題是二次函數綜合題目，考查了“姊線”的定義，待定系數法求二次函數解析式，二次函數的最值問題，掌握二次函數的有關性質是解答此題的關鍵.8．如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點A、B．拋物線過A、B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．（1）如圖1，設拋物線頂點為M，且M的坐標是（，），對稱軸交AB于點N．①求拋物線的解析式；②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；（2）是否存在這樣的點D，使得四邊形BOAD的面積最大？若存在，求出此時點D的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；；（2）存在，點D的坐標是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函數圖象上點的坐標特征求得點B的坐標，設拋物線解析式為y＝a，把點B的坐標代入求得a的值即可；②不存在點P，使四邊形MNPD為菱形．設點P的坐標是（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），根據題意知PD∥MN，所以當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，根據該等量關系列出方程﹣2m2+4m＝，通過解方程求得m的值，易得點N、P的坐標，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）設點D的坐標是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根據S四邊形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，則當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．根據三角形的面積公式得到函數S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函數的性質求得最值．【詳解】解：①如圖1，∵頂點M的坐標是，∴設拋物線解析式為y＝（a≠0）．∵直線y＝﹣2x+4交y軸于點B，∴點B的坐標是（0，4）．又∵點B在該拋物線上，∴＝4，解得a＝﹣2．故該拋物線的解析式為：y＝＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵拋物線y＝的對稱軸是直線x＝，且該直線與直線AB交于點N，∴點N的坐標是．∴．設點P的坐標是（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．當PD＝MN時，四邊形MNPD是平行四邊形，即﹣2m2+4m＝．解得 m1＝（舍去），m2＝．此時P（，1）．∵PN＝，∴PN≠MN，∴平行四邊形MNPD不是菱形．∴不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；（2）存在，理由如下：設點D的坐標是（n，﹣2n2+2n+4），∵點P在線段AB上且直線PD⊥x軸，∴P（n，﹣2n+4）．由圖可知S四邊形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝OB?OA＝42＝4．則當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．S△ABD＝（yD﹣yP）（xA﹣xB）＝y(tǒng)D﹣yP＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．當n＝1時，S△ABD取得最大值2，S四邊形BOAD有最大值．此時點D的坐標是（1，4）．【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．9．如圖，已知拋物線經過A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．①求S與m的函數關系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標； 若不存在，請說明理由．【答案】（1）.（2）.（3）①.②當m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點E的坐標為（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根據函數圖象經過的三點，用待定系數法確定二次函數的解析式即可.（2）根據BC是定值，得到當PB+PC最小時，△PBC的周長最小，根據點的坐標求得相應線段的長即可.（3）設點E的橫坐標為m，表示出E（m，2m+6），F（m，），最后表示出EF的長，從而表示出S于m的函數關系，然后求二次函數的最值即可.【詳解】解：（1）∵拋物線經過A（－3，0），B（1，0），∴可設拋物線交點式為.又∵拋物線經過C（0，3），∴.∴拋物線的解析式為：，即.（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，且BC是定值.∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小.∵點A、點B關于對稱軸I對稱，∴連接AC交l于點P，即點P為所求的點.∵AP=BP，∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.∴△PBC的周長最小是：.（3）①∵拋物線頂點D的坐標為（﹣1，4），A（﹣3，0），∴直線AD的解析式為y=2x+6∵點E的橫坐標為m，∴E（m，2m+6），F（m，）∴.∴.∴S與m的函數關系式為.②，∴當m=﹣2時，S最大