【文章內(nèi)容簡介】 物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，分別過點(diǎn)P，點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．（3）如果x軸上有一動點(diǎn)H，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標(biāo)和A的坐標(biāo)，又因為拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，﹣a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長的最大值；（3）在拋物線上存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，由（1）可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點(diǎn)，過y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）因為OA=4，AB=2，把△AOB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90176。，可以確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）；由圖可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），又因為拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，理由如下：由題意，如圖所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，﹣a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，∴當(dāng)a=1時，矩形PEFM的周長有最大值，Lmax=10；（3）在拋物線上存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，理由如下：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，4），∴知道C點(diǎn)正好是頂點(diǎn)坐標(biāo)，知道C點(diǎn)到x軸的距離為4個單位長度，過點(diǎn)C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點(diǎn)，過y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+，x2=2﹣∴N點(diǎn)坐標(biāo)為N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最大值問題和函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，題目的綜合性很強(qiáng)，對學(xué)生的綜合解題能力要求很高．　4．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足是M，是否存在點(diǎn)p，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），把點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；（2）首先由A的坐標(biāo)可求出OA的長，再根據(jù)四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=﹣1右側(cè)，進(jìn)而可求出D橫坐標(biāo)為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標(biāo)；（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：，所以函數(shù)解析式為：y=x2+2x；（2）∵AO為平行四邊形的一邊，∴DE∥AO，DE=AO，∵A（﹣2，0），∴DE=AO=2，∵四邊形AODE是平行四邊形，∴D在對稱軸直線x=﹣1右側(cè)，∴D橫坐標(biāo)為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式得y=3，∴D的坐標(biāo)為（1，3）；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，由題意，△BOC為直角三角形，∠COB=90176。，且OC：OB=1：3，①若△PMA∽△COB，則=，即x+2=3（x2+2x），得x1=，x2=﹣2（舍去）②若△PMA∽△BOC，=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）當(dāng)x=3時，y=15，即P（3，15）．故符合條件的點(diǎn)P有兩個，分別（，）或（3，15）．【點(diǎn)評】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，同時也考查了學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．　5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），交x軸于點(diǎn)A、B（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）將△ABC沿直線BC對折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為A′，試求A′的坐標(biāo)；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將（0，2）代入拋物線解析式求得a的值，從而得出拋物線的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）如圖2，作A39。H⊥x軸于H，可證明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A39。H∥OC，即可得出A′H的長，即可求得A′的坐標(biāo)；（3）分兩種情況：①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得出點(diǎn)P坐標(biāo)；②如圖4，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為A39。，以A39。B為直徑作⊙M39。，⊙M39。交拋物線的對稱軸于P39。（BC的上方），作M39。E⊥A39。H于E，交對稱軸于F，求得M39。F，在Rt△M39。P39。F中，由勾股定理得出P39。F得的長，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）把C（0，2）代入y=ax2﹣3ax﹣4a得﹣4a=2，解得．所以拋物線的解析式為．令，可得：x1=﹣1，x2=4．所以A（﹣1，0），B（4，0）．（2）如圖2，作A39。H⊥x軸于H，因為，且∠AOC=∠COB=90176。，所以△AOC∽△COB，所以∠ACO=∠CBO，可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90176。，由A39。H∥OC，AC=A39。C得OH=OA=1，A39。H=2OC=4；所以A39。（1，4）；（3）分兩種情況：①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，易得：MP=AB．所以P（，）．②如圖4，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為A39。，以A39。B為直徑作⊙M39。，⊙M39。交拋物線的對稱軸于P39。（BC的上方），則∠CP2B=∠CA39。B=∠CAB．作M39。E⊥A39。H于E，交對稱軸于F．則M39。E=BH=，EF==．所以M39。F==1．在Rt△M39。P39。F中，P39。F=，所以P39。M=2+．所以P39。（，2+）．綜上所述，P的坐標(biāo)為（，）或（，2+）．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一元二次方程的解法以及二次根式的運(yùn)算、勾股定理等．本題解題技巧要求高，而且運(yùn)算復(fù)雜，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求．　6．已知：如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”．（1）①如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長；②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是　相等?。唬?）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；（3）若拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值．【分析】（1）①①過點(diǎn)B作BN⊥x軸于N，根據(jù)△AMB為等腰直角三角形，AB∥x軸，所以∠BMN=∠ABM=45176。，所以∠BMN=∠MBN，得到MN=BN，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，解得n=1，n=0（舍去），所以B（1，1），求出BM的長度，利用勾股定理，即可解答；②因為拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同，所以拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；（2）根據(jù)拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同，所以拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，所以拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，所以拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，從而確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）或（2，﹣2），把點(diǎn)B代入y=ax2中，得到．（3））根據(jù)y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，得到，化簡得mn﹣4m﹣1=0，拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，所以拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線y=mx2，得，mn=﹣2或n=0（不合題意舍去），所以，所以．【解答】解：（1）①過點(diǎn)B作BN⊥x軸于N，如圖2，∵△AMB為等腰直角三角形，∴∠ABM=45176。，∵AB∥x軸，∴∠BMN=∠ABM=45176。，∴∠MBN=90176。﹣45176。=45176。，∴∠BMN=∠MBN，∴MN=BN，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，∴n=1，n=0（舍去），∴B（1，1）∴MN=BN=1，∴MB==，∴MA=MB=，在Rt△AMB中，AB==2，∴拋物線y=x2的“完美三角形”的斜邊AB=2．②∵拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同，∴拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；故答案為：相等．（2）∵拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同，∴拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，∵拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，∴拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）或（2，﹣2），把點(diǎn)B代入y=ax2中，∴．（3）∵y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，∴，∴mn﹣4m﹣1=0，∵拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，∴拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為，∴代入拋物線y=mx2，得，∴mn=﹣2或n=0（不合題意舍去），∴，∴．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是理解“完美三角形”的定義，利用勾股定理，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．　7．如圖，已知拋物線y=k（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸的交點(diǎn)為A、B，與y軸的交點(diǎn)為C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x=﹣4，求這個一次函數(shù)與拋物線的解析式；（2）在（1）問的條件下，若直線m平行于該拋物線的對稱軸，并且可以在線段AB間左右移動，它與直線BD和拋物線分別交于點(diǎn)E、F，求當(dāng)m移動到什么位置時，EF的值最大，最大值是多少？（3）問原拋物線在第一象限是否存在點(diǎn)P，使得△APB∽△ABC？若存在，請直接寫出這時k的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先解方程k（x+2）（x﹣4）=0可得A（﹣2，0），B（4，0），再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x+b中求出得b=2，則可得到一次函數(shù)解析式為y=﹣x+2，接著利用一次函數(shù)解析式確定D點(diǎn)坐標(biāo)，然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入代入y=k（x+2）（x﹣4）中求出k的值即可得到得拋物線解析式；（2）利用二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可設(shè)F（t，t2﹣t﹣2），則E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，于是得到EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）作PH⊥x軸于H，如圖，先表示出C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣8k），設(shè)P[n，k（n+2）（n﹣4）]，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC時，△APB∽△ABC；再根據(jù)正切定義，在Rt△APH中有tan∠PAH=，在Rt△OAC中有tan∠OAC==4k，則=4k，解得n=8，于是得到P（8，40k），接著利用勾股定理計算出AP=10，AC=2，然后利用AP：AB=AB：AC得到10?2=62，解得k1=，k2=﹣（舍去），于是可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)y=0時，k（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，則A（﹣2，0），B（4，0），把B（4，0）代入y=﹣x+b得﹣2+b=0，解得b=2，所以一次函數(shù)解析式為y=﹣x+2，當(dāng)x=﹣4時，y=﹣x+2=4，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），把D（﹣4，4）代入y=k（x+2）（x﹣4）得k?（﹣2）?（﹣8）=4，解得k=，所以拋物線解析式為y=（x+2）（x﹣4），即y=x2﹣x﹣2；（2）設(shè)F（t，t2﹣t﹣2），則E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，所以EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，所以當(dāng)t=0時，EF最大，最大值為4，即當(dāng)直線m移動到與y軸重合的位置時，EF的值最大，最大值是4；（3）存在．作PH⊥x軸于H，如圖，當(dāng)x=0時，y=k（x+2）（x﹣4）=﹣8k，則C（0，﹣8k），設(shè)P[n，k