【文章內容簡介】 物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．（3）如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據旋轉的性質可求出C的坐標和A的坐標，又因為拋物線經過原點，故設y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，設點P的坐標為P（a，﹣a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函數(shù)的性質即可求出四邊形PEFM的周長的最大值；（3）在拋物線上存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形，由（1）可求出拋物線的頂點坐標，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交點坐標．【解答】解：（1）因為OA=4，AB=2，把△AOB繞點O逆時針旋轉90176。，可以確定點C的坐標為（2，4）；由圖可知點A的坐標為（4，0），又因為拋物線經過原點，故設y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，理由如下：由題意，如圖所示，設點P的坐標為P（a，﹣a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，∴當a=1時，矩形PEFM的周長有最大值，Lmax=10；（3）在拋物線上存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形，理由如下：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知頂點坐標（2，4），∴知道C點正好是頂點坐標，知道C點到x軸的距離為4個單位長度，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+，x2=2﹣∴N點坐標為N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．【點評】本題考查了旋轉的性質、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最大值問題和函數(shù)圖象的交點問題，題目的綜合性很強，對學生的綜合解題能力要求很高．　4．如圖，已知拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標．（3）P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足是M，是否存在點p，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），把點A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；（2）首先由A的坐標可求出OA的長，再根據四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=﹣1右側，進而可求出D橫坐標為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標；（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點P的坐標，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點P的坐標．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將點A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：，所以函數(shù)解析式為：y=x2+2x；（2）∵AO為平行四邊形的一邊，∴DE∥AO，DE=AO，∵A（﹣2，0），∴DE=AO=2，∵四邊形AODE是平行四邊形，∴D在對稱軸直線x=﹣1右側，∴D橫坐標為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式得y=3，∴D的坐標為（1，3）；（3）假設存在點P，使以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似，設P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，由題意，△BOC為直角三角形，∠COB=90176。，且OC：OB=1：3，①若△PMA∽△COB，則=，即x+2=3（x2+2x），得x1=，x2=﹣2（舍去）②若△PMA∽△BOC，=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）當x=3時，y=15，即P（3，15）．故符合條件的點P有兩個，分別（，）或（3，15）．【點評】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性強，同時也考查了學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．　5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a的圖象經過點C（0，2），交x軸于點A、B（A點在B點左側），頂點為D．（1）求拋物線的解析式及點A、B的坐標；（2）將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A′，試求A′的坐標；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將（0，2）代入拋物線解析式求得a的值，從而得出拋物線的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得點A、B的坐標；（2）如圖2，作A39。H⊥x軸于H，可證明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A39。H∥OC，即可得出A′H的長，即可求得A′的坐標；（3）分兩種情況：①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得出點P坐標；②如圖4，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A39。，以A39。B為直徑作⊙M39。，⊙M39。交拋物線的對稱軸于P39。（BC的上方），作M39。E⊥A39。H于E，交對稱軸于F，求得M39。F，在Rt△M39。P39。F中，由勾股定理得出P39。F得的長，從而得出點P的坐標即可．【解答】解：（1）把C（0，2）代入y=ax2﹣3ax﹣4a得﹣4a=2，解得．所以拋物線的解析式為．令，可得：x1=﹣1，x2=4．所以A（﹣1，0），B（4，0）．（2）如圖2，作A39。H⊥x軸于H，因為，且∠AOC=∠COB=90176。，所以△AOC∽△COB，所以∠ACO=∠CBO，可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90176。，由A39。H∥OC，AC=A39。C得OH=OA=1，A39。H=2OC=4；所以A39。（1，4）；（3）分兩種情況：①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，易得：MP=AB．所以P（，）．②如圖4，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A39。，以A39。B為直徑作⊙M39。，⊙M39。交拋物線的對稱軸于P39。（BC的上方），則∠CP2B=∠CA39。B=∠CAB．作M39。E⊥A39。H于E，交對稱軸于F．則M39。E=BH=，EF==．所以M39。F==1．在Rt△M39。P39。F中，P39。F=，所以P39。M=2+．所以P39。（，2+）．綜上所述，P的坐標為（，）或（，2+）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的相關性質、一次函數(shù)的相關性質、一元二次方程的解法以及二次根式的運算、勾股定理等．本題解題技巧要求高，而且運算復雜，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求．　6．已知：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側），根據對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”．（1）①如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長；②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關系是　相等??；（2）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；（3）若拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值．【分析】（1）①①過點B作BN⊥x軸于N，根據△AMB為等腰直角三角形，AB∥x軸，所以∠BMN=∠ABM=45176。，所以∠BMN=∠MBN，得到MN=BN，設B點坐標為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，解得n=1，n=0（舍去），所以B（1，1），求出BM的長度，利用勾股定理，即可解答；②因為拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同，所以拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關系是相等；（2）根據拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同，所以拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，所以拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，所以拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，從而確定B點坐標為（2，2）或（2，﹣2），把點B代入y=ax2中，得到．（3））根據y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，得到，化簡得mn﹣4m﹣1=0，拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，所以拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，所以B點坐標為，代入拋物線y=mx2，得，mn=﹣2或n=0（不合題意舍去），所以，所以．【解答】解：（1）①過點B作BN⊥x軸于N，如圖2，∵△AMB為等腰直角三角形，∴∠ABM=45176。，∵AB∥x軸，∴∠BMN=∠ABM=45176。，∴∠MBN=90176。﹣45176。=45176。，∴∠BMN=∠MBN，∴MN=BN，設B點坐標為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，∴n=1，n=0（舍去），∴B（1，1）∴MN=BN=1，∴MB==，∴MA=MB=，在Rt△AMB中，AB==2，∴拋物線y=x2的“完美三角形”的斜邊AB=2．②∵拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同，∴拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關系是相等；故答案為：相等．（2）∵拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同，∴拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，∵拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，∴拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，∴B點坐標為（2，2）或（2，﹣2），把點B代入y=ax2中，∴．（3）∵y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，∴，∴mn﹣4m﹣1=0，∵拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，∴拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，∴B點坐標為，∴代入拋物線y=mx2，得，∴mn=﹣2或n=0（不合題意舍去），∴，∴．【點評】本題考查了二次函數(shù)，解決本題的關鍵是理解“完美三角形”的定義，利用勾股定理，求出點B的坐標．　7．如圖，已知拋物線y=k（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，經過點B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．（1）若點D的橫坐標為x=﹣4，求這個一次函數(shù)與拋物線的解析式；（2）在（1）問的條件下，若直線m平行于該拋物線的對稱軸，并且可以在線段AB間左右移動，它與直線BD和拋物線分別交于點E、F，求當m移動到什么位置時，EF的值最大，最大值是多少？（3）問原拋物線在第一象限是否存在點P，使得△APB∽△ABC？若存在，請直接寫出這時k的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先解方程k（x+2）（x﹣4）=0可得A（﹣2，0），B（4，0），再把B點坐標代入y=﹣x+b中求出得b=2，則可得到一次函數(shù)解析式為y=﹣x+2，接著利用一次函數(shù)解析式確定D點坐標，然后把D點坐標代入代入y=k（x+2）（x﹣4）中求出k的值即可得到得拋物線解析式；（2）利用二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可設F（t，t2﹣t﹣2），則E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，于是得到EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，然后根據二次函數(shù)的性質求解；（3）作PH⊥x軸于H，如圖，先表示出C點坐標為（0，﹣8k），設P[n，k（n+2）（n﹣4）]，根據相似三角形的判定方法，當∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC時，△APB∽△ABC；再根據正切定義，在Rt△APH中有tan∠PAH=，在Rt△OAC中有tan∠OAC==4k，則=4k，解得n=8，于是得到P（8，40k），接著利用勾股定理計算出AP=10，AC=2，然后利用AP：AB=AB：AC得到10?2=62，解得k1=，k2=﹣（舍去），于是可確定P點坐標．【解答】解：（1）當y=0時，k（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，則A（﹣2，0），B（4，0），把B（4，0）代入y=﹣x+b得﹣2+b=0，解得b=2，所以一次函數(shù)解析式為y=﹣x+2，當x=﹣4時，y=﹣x+2=4，則D點坐標為（4，4），把D（﹣4，4）代入y=k（x+2）（x﹣4）得k?（﹣2）?（﹣8）=4，解得k=，所以拋物線解析式為y=（x+2）（x﹣4），即y=x2﹣x﹣2；（2）設F（t，t2﹣t﹣2），則E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，所以EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，所以當t=0時，EF最大，最大值為4，即當直線m移動到與y軸重合的位置時，EF的值最大，最大值是4；（3）存在．作PH⊥x軸于H，如圖，當x=0時，y=k（x+2）（x﹣4）=﹣8k，則C（0，﹣8k），設P[n，k