【正文】 ）已知點P（m，n）在該函數(shù)的圖象上，且m+n=1，求點P的坐標(biāo)．44．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c過原點O和B（﹣4，4），且對稱軸為直線x=．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）D是直線OB下方拋物線上的一動點，連接OD，BD，在點D運動過程中，當(dāng)△OBD面積最大時，求點D的坐標(biāo)和△OBD的最大面積；（3）如圖2，若點P為平面內(nèi)一點，點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，直接寫出滿足△POD∽△NOB的點P坐標(biāo)．45．如圖，拋物線y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標(biāo)為（4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標(biāo)．46．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點B（8，0）和點C（9，﹣3）．拋物線y=ax2﹣8ax+c（a，c是常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點B、C，且與x軸的另一交點為A．對稱軸上有一點M，滿足MA=MC．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）求四邊形ABCM的面積；（3）如果坐標(biāo)系內(nèi)有一點D，滿足四邊形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，求點D的坐標(biāo)．47．如圖，直線y=kx﹣3與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，經(jīng)過A，B兩點的拋物線y軸交于點B，經(jīng)過A，B兩點的拋物線y=（x﹣1）2+m與x軸負(fù)半軸交于點C．（1）求m和k的值；（2）過點B作BD∥x軸交該拋物線于點D，連接CD交y軸于點E，連結(jié)CB．①求∠BCD+∠OBC的度數(shù)；②在x軸上有一動點F，直線BF交拋物線于P點，若∠ABP=∠BCD時，求此時點P的坐標(biāo)．48．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為二次函數(shù)的頂點，已知點（﹣1，0），點C（0，﹣3），直線DE為二次函數(shù)的對稱軸，交BC于點E，交x軸于點F．（1）求拋物線的解析式和點D的坐標(biāo)；（2）直線DE上是否存在點M，使點M到x軸的距離于到BD的距離相等？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）已知點Q是線段BD上的動點，點D關(guān)于EQ的對稱點是點D′，是否存在點Q使得△EQD′與△EQB的重疊部分圖象為直角三角形？若存在，請求出DQ的長；若不存在，請說明理由．49．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（﹣3，0）和B（1，0）兩點，交y軸于點C（0，3），點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖象過點B、D．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；（3）若直線與y軸的交點為E，連結(jié)AD、AE，求△ADE的面積．50．如圖，?ABCD與拋物線y=﹣x2+bx+c相交于點A，B，D，點C在拋物線的對稱軸上，已知點B（﹣1，0），BC=4．（1）求拋物線的解析式；（2）求BD的函數(shù)表達(dá)式．　二次函數(shù)參考答案與試題解析　一．解答題（共50小題）1．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標(biāo)；（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)點M到達(dá)點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程組即可；（2）求出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t，運用二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)解決問題；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)BP=BC時，OP=OB=3，∴P3（0，﹣3）；③當(dāng)PB=PC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)A運動時間為t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，即當(dāng)M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）時△MNB面積最大，最大面積是1．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．　2．已知：如圖，直線y=kx+2與x軸正半軸相交于A（t，0），與y軸相交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A和點B，點C在第三象象限內(nèi)，且AC⊥AB，tan∠ACB=．（1）當(dāng)t=1時，求拋物線的表達(dá)式；（2）試用含t的代數(shù)式表示點C的坐標(biāo)；（3）如果點C在這條拋物線的對稱軸上，求t的值．【分析】（1）把點A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達(dá)式，解方程組即可；（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點H，根據(jù)△AOB∽△CHA，得到==，根據(jù)tan∠ACB==，得到==，根據(jù)OA=t，得到點C的坐標(biāo)為（t﹣4，﹣2t）．（3）根據(jù)點C（t﹣4，﹣2t）在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸上，得到t﹣4=，即b=2t﹣8，把點A（t，0）、B（0，2）代入拋物線的表達(dá)式，得﹣t2+bt+2=0，可知t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，據(jù)此即可求出t的值．【解答】解：（1）∵t=1，y=kx+2，∴A（1，0），B（0，2），把點A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達(dá)式，得，解得，∴所求拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2﹣x+2．（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點H，得∠AHC=∠AOB=90176。A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx﹣2的圖象經(jīng)過C點．（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當(dāng)l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．16．如圖所示，二次函數(shù)y=﹣2x2+4x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．（1）求m的值及點B的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積；（3）該二次函數(shù)圖象上有一點D（x，y），使S△ABD=S△ABC，請求出D點的坐標(biāo)．17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的圖象與y軸正半軸交于A點．（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點中右側(cè)的交點為點B，若∠ABO=45176。OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90176。點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過點O，C，A三點．（1）求該拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．（3）如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）設(shè)點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標(biāo)．（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足是M，是否存在點p，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a的圖象經(jīng)過點C（0，2），交x軸于點A、B（A點在B點左側(cè)），頂點為D．（1）求拋物線的解析式及點A、B的坐標(biāo)；（2）將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A′，試求A′的坐標(biāo)；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．已知：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側(cè)），根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”．（1）①如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長；②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是　 ?。唬?）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；（3）若拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值．7．如圖，已知拋物線y=k（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，經(jīng)過點B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．（1）若點D的橫坐標(biāo)為x=﹣4，求這個一次函數(shù)與拋物線的解析式；（2）在（1）問的條件下，若直線m平行于該拋物線的對稱軸，并且可以在線段AB間左右移動，它與直線BD和拋物線分別交于點E、F，求當(dāng)m移動到什么位置時，EF的值最大，最大值是多少？（3）問原拋物線在第一象限是否存在點P，使得△APB∽△ABC？若存在，請直接寫出這時k的值；若不存在，請說明理由．8．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點，與x軸交于另一點B．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D（m，﹣m﹣1）在第四象限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC對稱的點D39。將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；（3）在（2）的條件下，設(shè)M（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)﹣3＜p＜0時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值范圍．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A（﹣3，0）、C（1，0），與y軸交于點B．（1）求此拋物線的解析式；（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為點F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．①過點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標(biāo)；②連接PA，以PA為邊作正方形APMN，當(dāng)頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應(yīng)的P點的坐標(biāo)．19．如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．20．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+x+與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接CD，過點D作DH⊥x軸于點H，過點A作AE⊥AC交DH的延長線于點E．（1）求線段DE的長度；（2）如圖2，試在線段AE上找一點F，在線段DE上找一點P，且點M為直線PF上方拋物線上的一點，求當(dāng)△CPF的周長最小時，△MPF面積的最大值是多少；（3）在（2）問的條件下，將得到的△CFP沿直線AE平移得到△C′F′P′，將△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，記在平移過稱中，直線F′P′與x軸交于點K，則是否存在這樣的點K，使得△F′F″K為等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，說明理由．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=﹣x2+（m﹣1）x+4m的圖象與x軸負(fù)半軸交于點A，與y軸交于點B（0，4），已知點E（0，1）．（1）求m的值及點A的坐標(biāo)；（2）如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連結(jié)A′B、BE′．①當(dāng)點E′落在該二次函數(shù)的圖象上時，求AA′的長；②設(shè)AA′=n，其中0＜n＜2，試用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時點E′的坐標(biāo)；③當(dāng)A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標(biāo)．22．已知二次函數(shù)y=ax2+4amx（m＞0）的對稱軸與x軸交于點B，與直線l：y=交于點C，點A是該二次函數(shù)圖象與直線l在第二象限的交點，點D是拋物線的頂點，已知AC：CO=1：2，∠DOB=45176?！逜C⊥AB，∴∠OAB+∠CAH=90176。OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90176。H⊥x軸于H，可證明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A39?！袽39。H于E，交對稱軸于F，求得M39。F得的長，從而得出點P的坐