【正文】 ）已知點(diǎn)P（m，n）在該函數(shù)的圖象上，且m+n=1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．44．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c過(guò)原點(diǎn)O和B（﹣4，4），且對(duì)稱(chēng)軸為直線x=．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）D是直線OB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OD，BD，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△OBD面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)和△OBD的最大面積；（3）如圖2，若點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，直接寫(xiě)出滿(mǎn)足△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)．45．如圖，拋物線y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．46．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（8，0）和點(diǎn)C（9，﹣3）．拋物線y=ax2﹣8ax+c（a，c是常數(shù)，a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，且與x軸的另一交點(diǎn)為A．對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)M，滿(mǎn)足MA=MC．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）求四邊形ABCM的面積；（3）如果坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)D，滿(mǎn)足四邊形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．47．如圖，直線y=kx﹣3與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線y軸交于點(diǎn)B，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線y=（x﹣1）2+m與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）求m和k的值；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸交該拋物線于點(diǎn)D，連接CD交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)CB．①求∠BCD+∠OBC的度數(shù)；②在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)F，直線BF交拋物線于P點(diǎn)，若∠ABP=∠BCD時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．48．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，已知點(diǎn)（﹣1，0），點(diǎn)C（0，﹣3），直線DE為二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）直線DE上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M到x軸的距離于到BD的距離相等？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知點(diǎn)Q是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于EQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)D′，是否存在點(diǎn)Q使得△EQD′與△EQB的重疊部分圖象為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．49．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（﹣3，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B、D．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；（3）若直線與y軸的交點(diǎn)為E，連結(jié)AD、AE，求△ADE的面積．50．如圖，?ABCD與拋物線y=﹣x2+bx+c相交于點(diǎn)A，B，D，點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，已知點(diǎn)B（﹣1，0），BC=4．（1）求拋物線的解析式；（2）求BD的函數(shù)表達(dá)式．　二次函數(shù)參考答案與試題解析　一．解答題（共50小題）1．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從 點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程組即可；（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t，運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)解決問(wèn)題；此時(shí)點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸上x(chóng)軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸上x(chóng)軸下方2個(gè)單位處．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時(shí)，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)BP=BC時(shí)，OP=OB=3，∴P3（0，﹣3）；③當(dāng)PB=PC時(shí)，∵OC=OB=3∴此時(shí)P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)A運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，即當(dāng)M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）時(shí)△MNB面積最大，最大面積是1．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．　2．已知：如圖，直線y=kx+2與x軸正半軸相交于A（t，0），與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在第三象象限內(nèi)，且AC⊥AB，tan∠ACB=．（1）當(dāng)t=1時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；（2）試用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如果點(diǎn)C在這條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，求t的值．【分析】（1）把點(diǎn)A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達(dá)式，解方程組即可；（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，根據(jù)△AOB∽△CHA，得到==，根據(jù)tan∠ACB==，得到==，根據(jù)OA=t，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t﹣4，﹣2t）．（3）根據(jù)點(diǎn)C（t﹣4，﹣2t）在拋物線y=﹣x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸上，得到t﹣4=，即b=2t﹣8，把點(diǎn)A（t，0）、B（0，2）代入拋物線的表達(dá)式，得﹣t2+bt+2=0，可知t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，據(jù)此即可求出t的值．【解答】解：（1）∵t=1，y=kx+2，∴A（1，0），B（0，2），把點(diǎn)A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達(dá)式，得，解得，∴所求拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2﹣x+2．（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，得∠AHC=∠AOB=90176。A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx﹣2的圖象經(jīng)過(guò)C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸所在直線l．當(dāng)l移動(dòng)到何處時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．16．如圖所示，二次函數(shù)y=﹣2x2+4x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求m的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積；（3）該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D（x，y），使S△ABD=S△ABC，請(qǐng)求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的圖象與y軸正半軸交于A點(diǎn)．（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn)B，若∠ABO=45176。OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，分別過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問(wèn)：四邊形PEFM的周長(zhǎng)是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最值，并寫(xiě)出解答過(guò)程；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如果x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足是M，是否存在點(diǎn)p，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2），交x軸于點(diǎn)A、B（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）將△ABC沿直線BC對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，試求A′的坐標(biāo)；（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．已知：如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），根據(jù)對(duì)稱(chēng)性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)△AMB為直角三角形時(shí)，就稱(chēng)△AMB為該拋物線的“完美三角形”．（1）①如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長(zhǎng)；②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系是　 ?。唬?）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長(zhǎng)為4，求a的值；（3）若拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長(zhǎng)為n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值．7．如圖，已知拋物線y=k（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸的交點(diǎn)為A、B，與y軸的交點(diǎn)為C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x=﹣4，求這個(gè)一次函數(shù)與拋物線的解析式；（2）在（1）問(wèn)的條件下，若直線m平行于該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，并且可以在線段AB間左右移動(dòng)，它與直線BD和拋物線分別交于點(diǎn)E、F，求當(dāng)m移動(dòng)到什么位置時(shí)，EF的值最大，最大值是多少？（3）問(wèn)原拋物線在第一象限是否存在點(diǎn)P，使得△APB∽△ABC？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出這時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D（m，﹣m﹣1）在第四象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D39。將直線AB向下平移2個(gè)單位得到直線l，求直線l的解析式；（3）在（2）的條件下，設(shè)M（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)﹣3＜p＜0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在直線l的下方，求m的取值范圍．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）、C（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求此拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．①過(guò)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接PA，以PA為邊作正方形APMN，當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．19．如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．20．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+x+與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求線段DE的長(zhǎng)度；（2）如圖2，試在線段AE上找一點(diǎn)F，在線段DE上找一點(diǎn)P，且點(diǎn)M為直線PF上方拋物線上的一點(diǎn)，求當(dāng)△CPF的周長(zhǎng)最小時(shí)，△MPF面積的最大值是多少；（3）在（2）問(wèn)的條件下，將得到的△CFP沿直線AE平移得到△C′F′P′，將△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，記在平移過(guò)稱(chēng)中，直線F′P′與x軸交于點(diǎn)K，則是否存在這樣的點(diǎn)K，使得△F′F″K為等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，說(shuō)明理由．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=﹣x2+（m﹣1）x+4m的圖象與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（0，4），已知點(diǎn)E（0，1）．（1）求m的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連結(jié)A′B、BE′．①當(dāng)點(diǎn)E′落在該二次函數(shù)的圖象上時(shí)，求AA′的長(zhǎng)；②設(shè)AA′=n，其中0＜n＜2，試用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)；③當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)．22．已知二次函數(shù)y=ax2+4amx（m＞0）的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B，與直線l：y=交于點(diǎn)C，點(diǎn)A是該二次函數(shù)圖象與直線l在第二象限的交點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，已知AC：CO=1：2，∠DOB=45176?！逜C⊥AB，∴∠OAB+∠CAH=90176。OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。H⊥x軸于H，可證明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A39?！袽39。H于E，交對(duì)稱(chēng)軸于F，求得M39。F得的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)P的坐