北師版二次函數(shù)經(jīng)典總結(jié)及典型題(編輯修改稿)
2025-04-20 23:07 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 例7 （2006，山東棗莊）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2－mx+與y=x2－mx－，這兩個(gè)二次函數(shù)的圖像中的一條與x軸交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)． （1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)； （2）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0），試求B點(diǎn)坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，對(duì)于經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減??？ 練習(xí)(2009年陜西省) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－1，2)．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（3）連接AB，在（2）中的拋物線(xiàn)上求出點(diǎn)P，使得S△ABP＝S△ABO． 例8 （2006，重慶市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且mn，拋物線(xiàn)y=－x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（0，n），如圖所示． （1）求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式； （2）設(shè)（1）中的拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和△BCD的面積；（3）P是線(xiàn)段OC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，與拋物線(xiàn)交于H點(diǎn)，若直線(xiàn)BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】（1）解方程求出m，n的值． 用待定系數(shù)法求出b，c的值． （2）過(guò)D作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面積，用割補(bǔ)法可求出△BCD的面積． （3）PH與BC的交點(diǎn)設(shè)為E點(diǎn)，則點(diǎn)E有兩種可能： ①EH=EP， ②EH=EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由mn，有m=1，n=5． 所以點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，5）．將A（1，0），B（0，5）的坐標(biāo)分別代入y=－x2+bx+c， 得 解這個(gè)方程組，得 所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為y=－x2－4x+5． （2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0． 解這個(gè)方程，得x1=－5，x2=1． 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－5，0），由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，得點(diǎn)D（－2，9）．過(guò)D作x軸的垂線(xiàn)交x軸于M，如圖所示． 則S△DMC=9（5－2）=． S梯形MDBO=2（9+5）=14， S△BDC =55=． 所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC －S△BOC =14+－=15． （3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0） 因?yàn)榫€(xiàn)段BC過(guò)B，C兩點(diǎn)，所以BC所在的直線(xiàn)方程為y=x+5． 那么，PH與直線(xiàn)BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為E（a，a+5），PH與拋物線(xiàn)y=－x2+4x+5的交點(diǎn)坐標(biāo)為H（a，－a2－4a+5）． 由題意，得①EH=EP，即 （－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）． 解這個(gè)方程，得a=－或a=－5（舍去）． ②EH=EP，得 （－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）． 解這個(gè)方程，得a=－或a=－5（舍去）． P點(diǎn)的坐標(biāo)為（－，0）或（－，0）．七、用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題例9 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030…y（件）252010… 若日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)． （1）求出日銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？ 【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．則 解得k=1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)式為y=x+40． （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元 w=（x10）（40x）=x2+50x400=（x25）2+225． 產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為225元． 【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類(lèi)似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最省）”的設(shè)問(wèn)中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線(xiàn)．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5 m處．繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1．5 m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)( )A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案：B八、二次函數(shù)應(yīng)用(一）經(jīng)濟(jì)策略性，銷(xiāo)售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤(rùn)，商店決定提高銷(xiāo)售價(jià)格。經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每月能賣(mài)360件若按每件25元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每月能賣(mài)210件。假定每月銷(xiāo)售件數(shù)y(件）是價(jià)格X的一次函數(shù).(1)試求y與x的之間的關(guān)系式.(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問(wèn)銷(xiāo)售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)，每月的最大利潤(rùn)是多少？（總利潤(rùn)=總收入－總成本），從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體重量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷(xiāo)商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克30元，據(jù)測(cè)算，以后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升1元，但是放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是每千克20元。（1）設(shè)X天后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)為P元，寫(xiě)出P關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。（2）如果放養(yǎng)X天后將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷(xiāo)售
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