二次函數(shù)壓軸題含答案(編輯修改稿)
2025-07-20 13:54 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 將A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此拋物線的解析式為y=﹣x2+x（3）存在，如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），①若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=177。2，當(dāng)y=2時(shí)，在Rt△POD中，∠PDO=90176。，sin∠POD==，∴∠POD=60176。，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60176。+120176。=180176。，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，∴y=2不符合題意，舍去，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2）②若OB=PB，則42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2），③若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2，﹣2），8．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（﹣1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)題意，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線過B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案．解答：解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90176。，∠ACO+∠CAO=90176。，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90176。，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，1）；（4分）（2）拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點(diǎn)B（﹣3，1），則得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以拋物線的解析式為y=x2+x﹣2；（7分）（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90176。，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點(diǎn)P1（1，﹣1）；（11分）②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P2（2，1），（14分）經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1（1，﹣1）與點(diǎn)P2（2，1）都在拋物線y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2﹣ax﹣2經(jīng)過點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）首先過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（3）分別從①以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案．解答：解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90176。，∠AC0+∠OAC=90176。，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90176。，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；（2）∵拋物線y=ax2﹣ax﹣2過點(diǎn)B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，如圖（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90176。，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y=x2﹣x﹣2上；②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，如圖（2），同理可證△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2（﹣2，1）也在拋物線y=x2﹣x﹣2上；③若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，如圖（3），同理可證△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），經(jīng)檢驗(yàn)P3（2，3）不在拋物線y=x2﹣x﹣2上；故符合條件的點(diǎn)有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）兩點(diǎn)．綜合類10．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題．分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)∑的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）MN的長(zhǎng)是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于MN的長(zhǎng)和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30．再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3，過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=BD=6，求出E的坐標(biāo)為（﹣1，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1，然后解方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以直線BC的解析式為y=﹣x+5；將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代
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