備戰(zhàn)中考數(shù)學二次函數(shù)綜合題匯編及詳細答案(編輯修改稿)
2025-03-31 22:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，(2，2﹣1)，(﹣4，3)． 【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、軸對稱變換、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用對稱解決最值問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．6．如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120176。，對角線AC，BD相交于點O，動點P從點A出發(fā)，以4cm/s的速度，沿A→B的路線向點B運動；過點P作PQ∥BD，與AC相交于點Q，設運動時間為t秒，0＜t＜5．（1）設四邊形PQCB的面積為S，求S與t的關(guān)系式；（2）若點Q關(guān)于O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N，當t為何值時，點P、M、N在一直線上？（3）直線PN與AC相交于H點，連接PM，NM，是否存在某一時刻t，使得直線PN平分四邊形APMN的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1) S=﹣2（0＜t＜5）； (2) 。(3)見解析.【解析】【分析】（1）如圖1，根據(jù)S=S△ABCS△APQ，代入可得S與t的關(guān)系式；（2）設PM=x，則AM=2x，可得AP=x=4t，計算x的值，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得AM=2PM=，根據(jù)AM=AO+OM，列方程可得t的值；（3）存在，通過畫圖可知：N在CD上時，直線PN平分四邊形APMN的面積，根據(jù)面積相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60176。，AC⊥BD，∴∠OAB=30176。，∵AB=20，∴OB=10，AO=10，由題意得：AP=4t，∴PQ=2t，AQ=2t，∴S=S△ABC﹣S△APQ，=，= ，=﹣2t2+100（0＜t＜5）；（2）如圖2，在Rt△APM中，AP=4t，∵點Q關(guān)于O的對稱點為M，∴OM=OQ，設PM=x，則AM=2x，∴AP=x=4t，∴x=，∴AM=2PM=，∵AM=AO+OM，∴=10+10﹣2t，t=；答：當t為秒時，點P、M、N在一直線上；（3）存在，如圖3，∵直線PN平分四邊形APMN的面積，∴S△APN=S△PMN，過M作MG⊥PN于G，∴ ，∴MG=AP，易得△APH≌△MGH，∴AH=HM=t，∵AM=AO+OM，同理可知：OM=OQ=10﹣2t，t=10=10﹣2t，t=．答：當t為秒時，使得直線PN平分四邊形APMN的面積．【點睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，三角形和四邊形的面積，二次根式的化簡等知識點，計算量大，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握動點運動時所構(gòu)成的三角形各邊的關(guān)系.7．已知點A（﹣1，2）、B（3，6）在拋物線y=ax2+bx上(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點F的坐標為（0，m）（m＞2），直線AF交拋物線于另一點G，過點G作x軸的垂線，垂足為H．設拋物線與x軸的正半軸交于點E，連接FH、AE，求證：FH∥AE；(3)如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點．點P從點C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運動，速度為每秒個單位長度；同時點Q從原點O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度．點M是直線PQ與拋物線的一個交點，當運動到t秒時，QM=2PM，直接寫出t的值．【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x；(2)證明見解析；(3)當運動時間為或秒時，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐標代入拋物線y=ax2+bx中確定解析式；（2）把A點坐標代入所設的AF的解析式，與拋物線的解析式構(gòu)成方程組，解得G點坐標，再通過證明三角形相似，得到同位角相等，兩直線平行；（3）具體見詳解.【詳解】．解：（1）將點A（﹣1，2）、B（3，6）代入中， ，解得： ，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x． （2）證明：設直線AF的解析式為y=kx+m，將點A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直線AF的解析式為y=（m﹣2）x+m．聯(lián)立直線AF和拋物線解析式成方程組， ，解得： 或 ，∴點G的坐標為（m，m2﹣m）．∵GH⊥x軸，∴點H的坐標為（m，0）．∵拋物線的解析式為y=x2﹣x=x（x﹣1），∴點E的坐標為（1，0）．過點A作AA′⊥x軸，垂足為點A′，如圖1所示．∵點A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE． （3）設直線AB的解析式為y=k0x+b0，將A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得 ，解得： ，∴直線AB的解析式為y=x+3，當運動時間為t秒時，點P的坐標為（t﹣3，t），點Q的坐標為（t，0）．當點M在線段PQ上時，過點P作PP′⊥x軸于點P′，過點M作MM′⊥x軸于點M′，則△PQP′∽△MQM′，如圖2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP39。=2，MM′=PP39。=t，∴點M的坐標為（t﹣2， t）．又∵點M在拋物線y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；當點M在線段QP的延長線上時，同理可得出點M的坐標為（t﹣6，2t），∵點M在拋物線y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．綜上所述：當運動時間秒 或 時，QM=2PM． 【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合運用，綜合能力是解題關(guān)鍵.8．已知二次函數(shù)的圖象以A（﹣1，4）為頂點，且過點B（2，﹣5）（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；（2）求該函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標；（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當圖象經(jīng)過原點時，A、B兩點隨圖象移至A′、B′，求△O A′B′的面積．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）拋物線與x軸的交點為：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了拋物線的頂點坐標，可用頂點式設該二次函數(shù)的解析式，然后將B點坐標代入，即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，令x=0，可求得拋物線與y軸的交點坐標；令y=0，可求得拋物線與x軸交點坐標；（3）由（2）可知：拋物線與x軸的交點分別在原點兩側(cè)，由此可求出當拋物線與x軸負半軸的交點平移到原點時，拋物線平移的單位，由此可求出A′、B′的坐標．由于△OA′B′不規(guī)則，可用面積割補法求出△OA′B′的面積．【詳解】（1）設拋物線頂點式y(tǒng)=a（x+1）2+4，
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