【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），∴PG=m（m24m+3）=m2+5m3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=33+PG?AE，=+3（m2+5m3），=m2+m，=（m）2+，∵＜0，∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m24m+3），則m2+4m3=2m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則m2+4m3=m2，解得：x=或；P的坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．7．如圖，拋物線的圖象過點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC的周長；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M（不與C點(diǎn)重合），使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)，周長為：；（3）存在，點(diǎn)M坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）由于條件給出拋物線與x軸的交點(diǎn)，故可設(shè)交點(diǎn)式，把點(diǎn)C代入即求得a的值，減小計(jì)算量．（2）由于點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸：直線對(duì)稱，故有，則，所以當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí)，最?。命c(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求AC、CB的長，求直線BC解析式，把代入即求得點(diǎn)P縱坐標(biāo)．（3）由可得，當(dāng)兩三角形以PA為底時(shí)，高相等，即點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等．又因?yàn)镸在x軸上方，故有．由點(diǎn)A、P坐標(biāo)求直線AP解析式，即得到直線CM解析式．把直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)M坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn) ∴可設(shè)交點(diǎn)式 把點(diǎn)代入得：∴拋物線解析式為（2）在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長最?。鐖D1，連接PB、BC∵點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸直線上，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱∵當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí)，最小最小設(shè)直線BC解析式為把點(diǎn)B代入得：，解得：∴直線BC：∴點(diǎn)使的周長最小，最小值為．（3）存在滿足條件的點(diǎn)M，使得．∵S△PAM＝S△PAC∴當(dāng)以PA為底時(shí)，兩三角形等高∴點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等∵M(jìn)在x軸上方，設(shè)直線AP解析式為 解得：∴直線∴直線CM解析式為：解得：（即點(diǎn)C），∴點(diǎn)M坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的最短路徑問題，勾股定理，平行線間距離處處相等，一元二次方程的解法．其中第（3）題條件給出點(diǎn)M在x軸上方，無需分類討論，解法較常規(guī)而簡(jiǎn)單．8．如圖，若b是正數(shù)，直線l：y=b與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y=x﹣b與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y=﹣x2+bx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸右交點(diǎn)為D．（1）若AB=8，求b的值，并求此時(shí)L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)C在l下方時(shí)，求點(diǎn)C與l距離的最大值；（3）設(shè)x0≠0，點(diǎn)（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離；（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫出b=2019和b=“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）；（4）當(dāng)b=2019時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b=“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè)．【解析】【分析】（1）求出A、B 的坐標(biāo)，由AB=8，可求出b的值．從而得到L的解析式，找出L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)即可；（2）通過配方，求出L的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)C在l下方，則C與l的距離，配方即可得出結(jié)論；（3）由題意得y1+y2=2y3，進(jìn)而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0的值，求出L與x軸右交點(diǎn)為D的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（4）①當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x直線解析式a：y=x﹣2019，美點(diǎn)”總計(jì)4040個(gè)點(diǎn)，②當(dāng)b=，拋物線解析式L：y=﹣x2+，直線解析式a：y=x﹣，“美點(diǎn)”共有1010個(gè)．【詳解】（1）當(dāng)x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B （0，﹣b）．∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的對(duì)稱軸x=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=x﹣4=﹣2，∴L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)為（2，﹣2 ）；（2）y=﹣（x）2，∴L的頂點(diǎn)C（，）．∵點(diǎn)C在l下方，∴C與l的距離b（b﹣2）2+1≤1，∴點(diǎn)C與l距離的最大值為1；（3）∵y3是y1，y2的平均數(shù)，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．∵x0≠0，∴x0=b，對(duì)于L，當(dāng)y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b．∵b＞0，∴右交點(diǎn)D（b，0），∴點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離b﹣（b）．（4）①當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x，直線解析式a：y=x﹣2019．聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個(gè)整數(shù)；∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個(gè)整數(shù)點(diǎn)，∴總計(jì)4042個(gè)點(diǎn)．∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)，∴美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4042﹣2=4040（個(gè)）；②當(dāng)b=，拋物線解析式L：y=﹣x2+，直線解析式a：y=x﹣，聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1=﹣1，x2=，∴當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)y=x﹣，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，在二次函數(shù)y=x2+，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知﹣ 間有1010個(gè)偶數(shù)，因此“美點(diǎn)”共有1010個(gè)．故b=2019時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b=“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，是其頂點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，直線經(jīng)過點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（），連接并延長，交拋物線于點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)，求的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、在直線下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理