【文章內(nèi)容簡介】 【詳解】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將點A（1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，∴，∴，∴y=+x+2；（2）∵點C與點D關(guān)于x軸對稱，∴D（0，2）．設(shè)直線BD的解析式為y=kx2．∵將（4，0）代入得：4k2=0，∴k=．∴直線BD的解析式為y=x2．當P點與A點重合時，△BQM是直角三角形，此時Q（1，0）；當BQ⊥BD時，△BQM是直角三角形，則直線BQ的直線解析式為y=2x+8，∴2x+8=+x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（1，0）；（3）兩個和諧點；AO=1，OC=2，設(shè)A1（x，y），則C1（x+2，y1），O1（x，y1），①當AC1在拋物線上時，∴，∴，∴A1的橫坐標是1；當OC1在拋物線上時，∴，∴A1的橫坐標是；【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)等；分類討論思想的運用是本題的關(guān)鍵．8．如圖，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．（1）求拋物線的表達式；（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，是否存在這樣的點P，使得△ABP的面積為△ABC面積的2倍？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸正半軸上運動，當以點C，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積． 【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面積為3；（3）P的坐標為（5，－5）；（4）或5．【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進行求解即可；（2）先求出拋物線的對稱軸，利用對稱性即可寫出點C的坐標，利用三角形面積公式即可求面積；（3）利用三角形的面積以及點P所處象限的特點即可求；（4）分情況進行討論，確定點M、N，然后三角形的面積公式即可求.試題解析：（1）將A（4，0），B（1，3）代入到y(tǒng)＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，∴拋物線的表達式為y＝－x2＋4x．（2）∵拋物線的表達式為y＝－x2＋4x，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2．又C，B關(guān)于對稱軸對稱，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝23＝3．（3）存在點P．作PQ⊥BH于點Q，設(shè)P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋（m－1）（3＋m2－4m）＝33＋（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴點P的坐標為（5，－5）．（4）或5．提示：①當以M為直角頂點，則S△CMN＝；②當以N為直角頂點，S△CMN＝5；③當以C為直角頂點時，此種情況不存在．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查待定系數(shù)法求解析式，三角形面積、直角三角形的判定等，能正確地根據(jù)題意確定圖形，分情況進行討論是解題的關(guān)鍵.9．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有兩個實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是方程兩根，且，求k的值．【答案】（1）k≥﹣；（2）k＝．【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根可以得到△≥0，從而求得k的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可.【詳解】解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1∵△≥0∴4k+1≥0∴k≥﹣；（2）∵x1，x2是方程兩根，∴x1+x2＝2k+1 x1x2＝k2，又∵，∴，即 ，解得：，又∵k≥﹣ ，即：k＝．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識，牢記“兩根之和等于 ，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵.10．溫州茶山楊梅名揚中國，某公司經(jīng)營茶山楊梅業(yè)務(wù)，以3萬元/噸的價格買入楊梅，包裝后直接銷售，包裝成本為1萬元/噸，它的平均銷售價格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（2≤x≤10，單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）若楊梅的銷售量為6噸時，它的平均銷售價格是每噸多少萬元？（2）當銷售數(shù)量為多少時，該經(jīng)營這批楊梅所獲得的毛利潤（w）最大？最大毛利潤為多少萬元？（毛利潤＝銷售總收入﹣進價總成本﹣包裝總費用）（3）經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，楊梅深加工后不包裝直接銷售，平均銷售價格為12萬元/噸．深加工費用y（單位：萬元）與加工數(shù)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝x+3（2≤x≤10）．①當該公司買入楊梅多少噸時，采用深加工方式與直接包裝銷售獲得毛利潤一樣？②該公司買入楊梅噸數(shù)在　 　范圍時，采用深加工方式比直接包裝銷售獲得毛利潤大些？【答案】（1）楊梅的銷售量為6噸時，它的平均銷售價格是每噸10萬元；（2）當x＝8時，此時W最大值＝40萬元；（3）①該公司買入楊梅3噸；②3＜x≤8．【解析】【分析】（1）設(shè)其解析式為y＝kx+b，由圖象經(jīng)過點（2，12），（8，9）兩點，得方程組，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣x+13﹣4）x＝﹣x2+9x，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）①根據(jù)題意列方程，即可得到結(jié)論；②根據(jù)題意即可得到結(jié)論．【詳解】（1）由圖象可知，y是關(guān)于x的一次函數(shù)．∴設(shè)其解析式為y＝kx+b，∵圖象經(jīng)過點（2，12），（8，9）兩點，∴，解得k＝﹣，b＝13，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+13，當x＝6時，y＝10，答：若楊梅的銷售量為6噸時，它的平均銷售價格是每噸10萬元；（2）根據(jù)題意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣x+13﹣4）x＝﹣x2+9x，當x＝﹣＝9時，x＝9不在取值范圍內(nèi)，∴當x＝8時，此時W最大值＝﹣x2+9x＝40萬元；（3）①由題意得：﹣x2+9x＝9x﹣（x+3）解得x＝﹣2（舍去），x＝3，答該公司買入楊梅3噸；②當該公司買入楊梅噸數(shù)在 3＜x≤8范圍時，采用深加工方式比直接包裝銷售獲得毛利潤大些． 故答案為：3＜x≤8．【點睛】本題是二次函數(shù)、一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，難度較大．解題關(guān)鍵是理清售價、成本、利潤三者之間的關(guān)系．11．如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點，①連接BC、CD、BD，設(shè)BD交直線AC于點E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2．求：的最大值；②如圖2，是否存在點D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接寫出點D的坐標，若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）①