【文章內(nèi)容簡介】 （3,0），且A（2，），∴AC=由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，∵△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，∴N在y軸上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，∵OD=，∴ON=或ON=，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），（0，）；（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時，如圖2 ，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線的對稱軸為x=1，∴ F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或2，∵點(diǎn)F在直線AB上，∴當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0時，則F（0，），此時點(diǎn)E在直線AB下方，∴E到y(tǒng)軸的距離為EHOF==，即E的縱坐標(biāo)為，∴ E（1，）；當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時，則F與A重合，不合題意，舍去；②當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時，∵ C（3,0），且A（2，），∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（， ），設(shè)E（1，t），F(xiàn)（x，y），則x1=2（），y+t=，∴x= 4，y=t，t=（4）+，解得t=，∴E（1，），F(xiàn)（4，）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F，此時E（1，）、（0，）或E（1，），F(xiàn)（4，）【點(diǎn)睛】本題是對二次函數(shù)的綜合知識考查，熟練掌握二次函數(shù)，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題7．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；（3）當(dāng)矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點(diǎn)P，使的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1） （2）最大值為10（3）故點(diǎn)P坐標(biāo)為：或或．【解析】【分析】（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG的周長，即可求解；（3），解得：，即可求解．【詳解】（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，故函數(shù)表達(dá)式為：…①；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，則， 矩形MNHG的周長，∵，故當(dāng)，C有最大值，最大值為10，此時，點(diǎn)與點(diǎn)D重合；（3）的面積是矩形MNHG面積的，則， 連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，過點(diǎn)P作y軸的平行線交CD、直線n于點(diǎn)H、G，即， 過點(diǎn)P作于點(diǎn)K，將、坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線CD的表達(dá)式為：， ，∴， 設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，解得：，則， 解得：， 故點(diǎn)，直線n的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：， 即點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為； 故點(diǎn)P坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線DC與x軸相交于點(diǎn)E．（1）當(dāng)a=﹣1時，求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，OE等于多少；（2）OE的長是否與a值有關(guān)，說明你的理由；（3）設(shè)∠DEO=β，45176?！堞隆?0176。，求a的取值范圍；（4）以DE為斜邊，在直線DE的左下方作等腰直角三角形PDE．設(shè)P（m，n），直接寫出n關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）結(jié)論：OE的長與a值無關(guān)．理由見解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直線CD的解析式即可解決問題；(2)利用參數(shù)a，求出直線CD的解析式求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可判斷；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判斷；(4)如圖，作PM⊥對稱軸于M，PN⊥AB于N．兩條全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.【詳解】解：(1)當(dāng)a=﹣1時，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，∴頂點(diǎn)D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直線CD的解析式為y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)結(jié)論：OE的長與a值無關(guān)．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直線CD的解析式為y=ax﹣3a，當(dāng)y=0時，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的長與a值無關(guān)．(3)當(dāng)β=45176。時，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，當(dāng)β=60176。時，在Rt△OCE中，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣，∴45176。≤β≤60176。，a的取值范圍為﹣≤a≤﹣1．(4)如圖，作PM⊥對稱軸于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90176。，∠DPE=∠MPN=90176。，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，當(dāng)頂點(diǎn)D在x軸上時，P(1，﹣2)，此時m的值1，∵拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案為：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的長與a值無關(guān)；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。9．我們知道，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線解析式可以是。（1）對于這樣的拋物線：當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時，a= ；當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時，a 與m之間的關(guān)系式是 ；（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線上，請用含k的代數(shù)式表示b；（3）現(xiàn)有一組過原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)A1，A2，…，An在直線上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12），分別過每個頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B1，B2，B3，…，Bn，以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn，若這組拋物線中有一條經(jīng)過點(diǎn)Dn，求所有滿足條件的正方形邊長?！敬鸢浮浚?）－1；（2）（3）3，6，9【解析】解：（1）－1；。（2）∵過原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線上，∴?！遙≠0，∴。（3）由（2）知，頂點(diǎn)在直線上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12）的拋物線為：，即。對于頂點(diǎn)在在直線上的一點(diǎn)Am（m，m）（m為正整數(shù)，且m≤n），依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長為m，點(diǎn)Dm坐標(biāo)為（2 m，m），若點(diǎn)Dm在某一拋物線上，則，化簡，得?！適，n為正整數(shù)，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。∴所有滿足條件的正方形邊長為3，6，9。（1）當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時，由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，有，即。當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時。（2）根據(jù)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)代入，化簡即可用含k的代數(shù)式表示b。由于拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二