【文章內(nèi)容簡介】 x22mx+3（m＞）的圖象與x軸交于點A（a，0）和點B（a+n，0）（n＞0且n為整數(shù)），與y軸交于C點．（1）若a=1，①求二次函數(shù)關系式；②求△ABC的面積；（2）求證：a=m；（3）線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標是整數(shù)，求a的值．【答案】（1）y=x24x+3；3；（2）證明見解析；（3）a=1或a=?．【解析】試題分析：（1）①首先根據(jù)a=1求得A的坐標，然后代入二次函數(shù)的解析式，求得m的值即可確定二次函數(shù)的解析式；②根據(jù)解析式確定拋物線與坐標軸的交點坐標，從而確定三角形的面積； （2）將原二次函數(shù)配方后即可確定其對稱軸為x=m，然后根據(jù)A、B兩點關于x=m對稱得到a+nm=ma，從而確定a、m、n之間的關系；（3）根據(jù)a=m得到A（m，0）代入y=（xm）2m2+3得0=（mm）2m2+3，求得m的值即可確定a的值．試題解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x22mx+3得12m+3=0，解得m=2，∴y=x24x+3；②在y=x24x+3中，當y=0時，有x24x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0）， ∴AB=2再根據(jù)解析式求出C點坐標為（0，3）， ∴OC=3，△ABC的面積=23=3；（2）∵y=x22mx+3=（xm）2m2+3，∴對稱軸為直線x=m， ∵二次函數(shù)y=x22mx+3的圖象與x軸交于點A和點B∴點A和點B關于直線x=m對稱， ∴a+nm=ma， ∴a=m；（3）y=x22mx+3（m＞）化為頂點式為y=（xm）2m2+3（m＞）①當a為整數(shù)，因為n＞0且n為整數(shù) 所以a+n是整數(shù)， ∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標是整數(shù)， ∴n=2， ∴a=m1，∴A（m1，0）代入y=（xm）2m2+3得（xm）2m2+3=0，∴m24=0，∴m=2，m=2（舍去）， ∴a=21=1， ②當a不是整數(shù)，因為n＞0且n為整數(shù) 所以a+n不是整數(shù)， ∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標是整數(shù)， ∴n=3， ∴a=m∴A（m，0）代入y=（xm）2m2+3得0=（mm）2m2+3，∴m2=，∴m=，m=（舍去），∴a=?，綜上所述：a=1或a=?．考點：二次函數(shù)綜合題．8．拋物線L：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（0，1），與它的對稱軸直線x=1交于點B．（1）直接寫出拋物線L的解析式；（2）如圖1，過定點的直線y=kx﹣k+4（k＜0）與拋物線L交于點M、N．若△BMN的面積等于1，求k的值；（3）如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點C，過點C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點D．F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點．若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應點P的坐標．【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）3；（3）當m=2﹣1時，點P的坐標為（0，）和（0，）；當m=2時，點P的坐標為（0，1）和（0，2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線x=1且拋物線過點A（0，1）利用待定系數(shù)法進行求解可即得；（2）根據(jù)直線y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直線所過定點G坐標為（1，4），從而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG?xN﹣BG?xM=1得出xN﹣xM=1，聯(lián)立直線和拋物線解析式求得x=，根據(jù)xN﹣xM=1列出關于k的方程，解之可得；（3）設拋物線L1的解析式為y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再設P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF兩種情況，由對應邊成比例得出關于t與m的方程，利用符合條件的點P恰有2個，結(jié)合方程的解的情況求解可得．【詳解】（1）由題意知，解得：，∴拋物線L的解析式為y=﹣x2+2x+1；（2）如圖1，設M點的橫坐標為xM，N點的橫坐標為xN，∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，∴當x=1時，y=4，即該直線所過定點G坐標為（1，4），∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，∴點B（1，2），則BG=2，∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG?（xN﹣1）BG?（xM1）=1，∴xN﹣xM=1，由得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，解得：x==，則xN=、xM=，由xN﹣xM=1得=1，∴k=177。3，∵k＜0，∴k=﹣3；（3）如圖2，設拋物線L1的解析式為y=﹣x2+2x+1+m，∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），設P（0，t），（a）當△PCD∽△FOP時，∴，∴t2﹣（1+m）t+2=0①；(b)當△PCD∽△POF時，∴，∴t=（m+1）②；（Ⅰ）當方程①有兩個相等實數(shù)根時，△=（1+m）2﹣8=0，解得：m=2﹣1（負值舍去），此時方程①有兩個相等實數(shù)根t1=t2=，方程②有一個實數(shù)根t=，∴m=2﹣1，此時點P的坐標為（0，）和（0，）；（Ⅱ）當方程①有兩個不相等的實數(shù)根時，把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，解得：m=2（負值舍去），此時，方程①有兩個不相等的實數(shù)根t1=t2=2，方程②有一個實數(shù)根t=1，∴m=2，此時點P的坐標為（0，1）和（0，2）；綜上，當m=2﹣1時，點P的坐標為（0，）和（0，）；當m=2時，點P的坐標為（0，1）和（0，2）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、割補法求三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)等，（2）小題中根據(jù)三角形BMN的面積求得點N與點M的橫坐標之差是解題的關鍵；（3）小題中運用分類討論思想進行求解是關鍵．9．在平面直角坐標系xOy中（如圖）．已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（0，），頂點為C，點D在其對稱軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90176。，點C落在拋物線上的點P處．（1）求這條拋物線的表達式；（2）求線段CD的長；（3）將拋物線平移，使其頂點C移到原點O的位置，這時點P落在點E的位置，如果點M在y軸上，且以O、D、E、M為頂點的四邊形面積為8，求點M的坐標．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+；（2）線段CD的長為2；（3）M點的坐標為（0，）或（0，﹣）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）利用配方法得到y(tǒng)=﹣（x﹣2）2+，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到C點坐標和拋物線的對稱軸為直線x=2，如圖，設CD=t，則D（2，﹣t），根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠PDC=90176。，DP=DC=