【文章內(nèi)容簡介】 特征數(shù)；（3）同一個(gè)問題在上述兩位同學(xué)眼中的特征數(shù)各不相同，為了讓兩人的研究保持一致，同組的董和諧將上述拋物線表述成：特征數(shù)為{u，v，w}的拋物線沿平行于某軸方向平移某單位后的圖象，即此時(shí)的特征數(shù){u，v，w}無論按單思稿同學(xué)還是按尤恪星同學(xué)的理解做出的結(jié)果是一樣的，請你根據(jù)數(shù)學(xué)推理將董和諧的表述完整地寫出來；（4）在直角坐標(biāo)系xOy中，上述（1）中的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），請直接寫出△ABC的重心坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題．分析：（1）把C坐標(biāo)代入拋物線解析式求出k的值，確定出拋物線解析式，即可得出拋物線在單同學(xué)眼中的特征數(shù)；（2）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)形式，確定出拋物線在尤同學(xué)眼中的特征數(shù)即可；（3）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)形式，要使單思稿同學(xué)和尤恪星同學(xué)的理解做出的結(jié)果是一樣的，必須滿足，得到b=0，即可得出董和諧的表述；（4）找出AB的中點(diǎn)，求出AB邊中線方程，同理求出AC邊中線方程，聯(lián)立求出重心坐標(biāo)即可．解答：解：（1）把C（0，﹣3）代入拋物線解析式得：k=﹣3，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，則該拋物線在單同學(xué)眼中的特征數(shù)為{1，﹣2，﹣3}；（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴上述拋物線在尤同學(xué)眼中的特征數(shù)為{1，﹣1，﹣4}；（3）y=ax2+bx+c=a（x+）2+c﹣，要使單思稿同學(xué)和尤恪星同學(xué)的理解做出的結(jié)果是一樣的，必須滿足，即b=0，∵y=（x﹣1）2﹣4可以看做y=x2﹣4沿平行于x軸方向向右平移1個(gè)單位而成，∴董和諧的表述為：特征數(shù){1，0，﹣4}的拋物線沿平行于x軸方向向右平移1個(gè)單位的圖象；（4）對于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3，令y=0，得到x2﹣2x﹣3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，解得：x=3或x=﹣1，即A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），AB邊的中線方程為y=（x﹣1）=3（x﹣1）=3x﹣3；∵AC邊中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），AC邊的中線方程為y=（x﹣3）=（x﹣3）=x﹣，聯(lián)立得：，解得：，則△ABC的重心坐標(biāo)為（，﹣1）．點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線的點(diǎn)斜式方程，以及新定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．　6．（2015?松江區(qū)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣3）和點(diǎn)（﹣1，5）；（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移，交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示平移后函數(shù)圖象頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象的平移，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．解答：解：（1）由二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣3）和點(diǎn)（﹣1，5），得，解得．二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2﹣4x；（2）y=x2﹣4x的頂點(diǎn)M坐標(biāo)（2，﹣4），這個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移，交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)為m，頂點(diǎn)M坐標(biāo)向上平移m，即M（2，m﹣4）；（3）由待定系數(shù)法，得CP的解析式為y=x+m，如圖：作MG⊥PC于G，設(shè)G（a，a+m）．由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，DM=MG．在Rt△DCM和Rt△GCM中，Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．CG=DC=4，MG=DM=2，化簡，得8m=36，解得m=．點(diǎn)評：本題考察了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，圖象的平移方法；（3）利用了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)．　7．（2015?山西模擬）如圖1，P（m，n）是拋物線y=x2﹣1上任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，﹣2）且與x軸平行的直線，過點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H．【特例探究】（1）填空，當(dāng)m=0時(shí)，OP=　1　，PH=　1　；當(dāng)m=4時(shí)，OP=　5　，PH=　5　．【猜想驗(yàn)證】（2）對任意m，n，猜想OP與PH大小關(guān)系，并證明你的猜想．【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，如果圖1中的拋物線y=x2﹣1變成y=x2﹣4x+3，直線l變成y=m（m＜﹣1）．已知拋物線y=x2﹣4x+3的頂點(diǎn)為M，交x軸于A、B兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），N是對稱軸上的一點(diǎn)，直線y=m（m＜﹣1）與對稱軸于點(diǎn)C，若對于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離．①用含m的代數(shù)式表示MC、MN及GN的長，并寫出相應(yīng)的解答過程；②求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得OP的長，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得可得PH的長；（2）根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得PO的長，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得PH的長；（3）①根據(jù)該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，可得CM=MN，根據(jù)線段的和差，可得GN的長；②對于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，可得方程，根據(jù)解方程，可得m的值，再根據(jù)線段的和差，可得GN的長．解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，P（0，﹣1），OP=1，PH=﹣1﹣（﹣2）=1；當(dāng)m=4時(shí)，y=3，P（4，3），OP==5，PH=3﹣（﹣2）=3+2=5，故答案為：1，1，5，5；（2）猜想：OP=PH，證明：PH交x軸與點(diǎn)Q，∵P在y=x2﹣1上，∴設(shè)P（m，m2﹣1），PQ=|x2﹣1|，OQ=|m|，∵△OPQ是直角三角形，∴OP====m2+1，PH=yp﹣（﹣2）=（m2﹣1）﹣（﹣2）=m2+1OP=PH．（3）①CM=MN=﹣m﹣1，GN=2+m，理由如下：對于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，M（2，﹣1），即CM=MN=﹣m﹣1．GN=CG﹣CM﹣MN=﹣m﹣2（m﹣1）=2+m．②點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0），BG=1，GN=2+m．由勾股定理，得BN==，對于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，得即1+（2+m）2=（﹣m）2．解得m=﹣．由GN=2+m=2﹣=，即N（0，﹣），∴m=﹣，N點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，﹣）．點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了勾股定理，點(diǎn)到直線的距離，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，利用的知識點(diǎn)較多，題目稍有難度．　8．（2015?徐匯區(qū)一模）已知：如圖，拋物線C1：y=ax2+4ax+c的圖象開口向上，與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，AB=2，且OA=OC．（1）求拋物線C1的對稱軸和函數(shù)解析式；（2）把拋物線C1的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移m個(gè)單位得到拋物線C2，記頂點(diǎn)為M，并與y軸交于點(diǎn)F（0，﹣1），求拋物線C2的函數(shù)解析式；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△APF與△FMG相似時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)配方法，可得拋物線的對稱軸，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)式函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象右移減，向下平移y減，可得y=（x+2﹣3）2﹣1+m，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；（3）分類討論：①當(dāng)△APF∽△MFG，②當(dāng)△APF∽△GFM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得FG的長，再根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)F的坐標(biāo)，可得答案．解答：解：（1）將拋物線C1：y=ax2+4ax+c配方，得y=a（x+2）2﹣4a+c，∴拋物線的對稱軸是x=﹣2，又AB=2，點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于x=﹣2對稱，得．解得．點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（﹣1，0）．由OA=OC，得點(diǎn)C（0，3），將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入C1得，．解得．拋物線函數(shù)解析式y(tǒng)=x2+4x+3；（2）又（1）拋物線C1：y=x2+4x+3配方，得y=（x+2）2﹣1，拋物線C1的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移m個(gè)單位得到拋物線C2，得y=（x+2﹣3）2﹣1+m．C2與y軸交于點(diǎn)F（0，﹣1），得1﹣1+m=﹣1．即m=﹣1．C2與的解析式為y=（x﹣1）2﹣2，（3）如圖：由勾股定理，得AP=，MF=．由兩點(diǎn)間的距離，得PF=2．①當(dāng)△APF∽△MFG時(shí)，=，即=．解得FG=2，點(diǎn)G1的坐標(biāo)為（0，1）；②當(dāng)△APF∽△GFM，=，即=，F(xiàn)G=1，點(diǎn)G2的坐標(biāo)（0，0）．點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)綜合題，（1）函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）先化成頂點(diǎn)式，再進(jìn)行平移：向右平移x減，向下平移y減；（3）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵．　9．（2014?遼陽）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。，頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，2），（3，2），點(diǎn)B在x軸上，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)S△PAB=S△ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)N由點(diǎn)B出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿邊BC、CA向點(diǎn)A移動(dòng)，秒后，點(diǎn)M也由點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BO向點(diǎn)O移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，點(diǎn)N的移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)MN⊥AB時(shí)，請直接寫出t的值，不必寫出解答過程．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，把（﹣1，2），（3，2）代入y=﹣x2+bx+c計(jì)算即可；（2）先求出 yAB=﹣x+，再求出S△ABC=5，分兩種情況討論：當(dāng)P在AB上方時(shí)，根據(jù)S△PAB=S△PAQ+S△PBQ=2PQ得出2[（﹣x2+2x+5）﹣（﹣x+）]=5；當(dāng)P在AB下方時(shí)，根據(jù)S△PAB=S△PQB﹣S△PQA=2PQ得出2[（﹣x+）﹣（﹣x2+2x+5）]=5，再分別求解即可；（3）當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，若MN⊥AB，根據(jù)△BMN∽△CBA，得出=，再根據(jù)BN=5t，BM=t﹣，得出=，當(dāng)點(diǎn)N在CA上時(shí)，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，則CN=EB，根據(jù)△ACB∽△NEM，得出=，求出EM=1，再求出EB=t﹣，再根據(jù)CN=t﹣2，得出t﹣2=t﹣，再分別求出t即可．解答：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，∴把（﹣1，2），（3，2）代入得：，解得：，∴該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2+2x+5；（2）由A（﹣1，2）B（3，0）可得：yAB=﹣x+，∵S△ABC=AC?BC=42=4，∴S△ABC=4=5，如圖1，當(dāng)P在AB上方時(shí)，S△PAB=S△PAQ+S△PBQ=PQ?AE+PQ?CE=PQ?AC=?PQ4=2PQ=2[（﹣x2+2x+5）﹣（﹣x+）]=5，解得：x1=，x2=，則P1（，）P2（，）如圖2，當(dāng)P在AB下方時(shí)，S△PAB=S△PQB﹣S△PQA=PQ?BG﹣PQ?GF=PQ?AC=?PQ4=2PQ=2[（﹣x+）﹣（﹣x2+2x+5）]=5，解得：x1=﹣，x2=4，則P3（﹣，﹣），P4（4，﹣3），綜上所述：P1（，），P2（，），P3（﹣，﹣），P4（4，﹣3）；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，若MN⊥AB，∵∠BDN=∠BCA，∠B=∠B，∴∠BND=∠BAC，∵∠MBC=∠ACB=90176。，∴△BMN∽△CBA，∴=，∵BN=5t，BM=t﹣，∴=，∴t=（秒），如圖4，當(dāng)點(diǎn)N在CA上時(shí)，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，則CN=EB，若MN⊥AB，則∠A=∠MNE，∵∠ACB=∠MEN，∴△ACB∽△NEM，∴=，∴=，∴EM=1，∴EB=MB﹣EM=t﹣﹣1=t﹣，∵CN=t﹣2，∴t﹣2=t﹣，∴t=．點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點(diǎn)是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、三角形的面積、矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論思想的運(yùn)用，不要漏解．　10．（2014?梧州）如圖，拋物線y=ax2+bx+2與直線l交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)為拋物線與y軸的交點(diǎn)，B（﹣2，﹣4），拋物線的對稱軸是直線x=2，過點(diǎn)A作AC⊥AB，交拋物線于點(diǎn)C、x軸于點(diǎn)D．（1）求此拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)K，使得以AC為邊的平行四邊形ACKL的面積等于△ABC的面積？若存在，請直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．[提示：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=﹣，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）]．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)對稱軸為直線x=2和B是拋物線上點(diǎn)即可求得a、b的值，即可解題；（2）易求得點(diǎn)A坐標(biāo)，作BE⊥x軸于E，易證△ABE∽△DAO，可得，即可求得OD的值，即可解題；（3）易求得AB長度，再根據(jù)S△ABC=AB?AC=S平行四邊形ACKL，可得點(diǎn)K到直線AC距離為AB，易求得直線AC解析式，將直線AC向左向右平移AB個(gè)單位，求得直線與拋物線交點(diǎn)即可解題．解答：解：（1）∵對稱軸為x=2，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，∴，∴解得：a=，b=2，∴拋物線的解析式是：y=