數(shù)學(xué)二次函數(shù)中三角形面積最大值綜合題(編輯修改稿)
2025-05-01 04:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QBF的面積最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及△QBF的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）設(shè)B（x， x2+1），而F（0，2），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到BF2=x2+（x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到BF=x2+1，由于BC=x2+1，所以BF=BC；（3）如圖1，利用菱形的性質(zhì)得到CB=CF=PF，加上CB=FB，則可判斷△BCF為等邊三角形，所以∠BCF=60176。，則∠OCF=30176。，于是可計(jì)算出CF=4，所以PF=CF=4，從而得到自然數(shù)m的值為6；（4）作QE∥y軸交AB于E，如圖2，先解方程組得B（1+，3+），設(shè)Q（t， t2+1），則E（t，t+2），則EQ=﹣t2+t+1，則S△QBF=S△EQF+S△EQB=?（1+）?EQ=?（1+）?）（﹣t2+t+1），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．【解答】解：（1）把點(diǎn)（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以拋物線解析式為y=x2+1；（2）BF=BC．理由如下：設(shè)B（x， x2+1），而F（0，2），∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，∴BF=x2+1，∵BC⊥x軸，∴BC=x2+1，∴BF=BC；（3）如圖1，m為自然數(shù)，則點(diǎn)P在F點(diǎn)上方，∵以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴CB=CF=PF，而CB=FB，∴BC=CF=BF，∴△BCF為等邊三角形，∴∠BCF=60176。，∴∠OCF=30176。，在Rt△OCF中，CF=2OF=4，∴PF=CF=4，∴P（0，6），即自然數(shù)m的值為6；（4）作QE∥y軸交AB于E，如圖2，當(dāng)k=1時(shí)，一次函數(shù)解析式為y=x+2，解方程組得或，則B（1+，3+），設(shè)Q（t， t2+1），則E（t，t+2），∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，∴S△QBF=S△EQF+S△EQB=?（1+）?EQ=?（1+））（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2++1，當(dāng)t=2時(shí)，S△QBF有最大值，最大值為+1，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．25（2017山東東營(yíng)）．如圖，直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，∠ACB=90176。，拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，作MD∥y軸交BC于點(diǎn)D，求△DMH周長(zhǎng)的最大值．【分析】（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，在Rt△BOC中由三角函數(shù)定義可求得∠OCB=60176。，則在Rt△AOC中可得∠ACO=30176。，利用三角函數(shù)的定義可求得OA，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（3）由平行線的性質(zhì)可知∠MDH=∠BCO=60176。，在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出DM的長(zhǎng)，從而可表示出△DMH的周長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．【解答】解：（1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，[來(lái)源:學(xué)_科_網(wǎng)]∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60176。，∵∠ACB=90176。，∴∠ACO=30176。，∴=tan30176。=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+；[來(lái)源:學(xué)167?？?67。網(wǎng)]（3）∵M(jìn)D∥y軸，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60176。，則∠DMH=30176。，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周長(zhǎng)=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM
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