二次函數(shù)與等腰三角形直角三角形的綜合(編輯修改稿)
2025-07-13 01:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 形．8．（2010鄂州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（0，2），一動點(diǎn)P沿過B點(diǎn)且垂直于AB的射線BM運(yùn)動，P點(diǎn)的運(yùn)動速度為每秒1個單位長度，射線BM與x軸交與點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）求過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．（3）若P點(diǎn)開始運(yùn)動時，Q點(diǎn)也同時從C出發(fā)，以P點(diǎn)相同的速度沿x軸負(fù)方向向點(diǎn)A運(yùn)動，t秒后，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．（點(diǎn)P到點(diǎn)C時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也同時停止運(yùn)動）求t的值．（4）在（2）（3）的條件下，當(dāng)CQ=CP時，求直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0）；（2）y= x2+x+2．（3）設(shè)P、Q的運(yùn)動時間為t秒，則BP=t，CQ=t．以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，可分三種情況討論．①若CQ=PC，如圖所示，則PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．②若PQ=QC，如圖所示，過點(diǎn)Q作DQ⊥BC交CB于點(diǎn)D，則有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．③若PQ=PC，如圖所示，過點(diǎn)P作PE⊥AC交AC于點(diǎn)E，則EC=QE=PC，∴t=（t），解得t=．（4）當(dāng)CQ=PC時，由（3）知t=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1），∴直線OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x22x4=0，解得x=1177。，∴直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，）和（1，）．（2011潼南縣）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求b，c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；（2）如圖：∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），∴直線AB的解析式為：y=x+1，∵二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3，∴設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣32）2+254，∴當(dāng)t=32時，EF的最大值為254，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（32，52）；（3）①如圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD．可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（32，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）S四邊形EBFD=S△BEF+S△DEF=1
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