數(shù)學二次函數(shù)中三角形面積最大值綜合題(已修改)
2025-04-16 04:23 本頁面
【正文】 2017中考數(shù)學全國試題匯編二次函數(shù)中三角形面積最大值綜合題28．（2017甘肅白銀）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，點，與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）連接，若點在線段上運動（不與點重合），過點作，交于點，當面積最大時，求點的坐標；（3）連接，在（2）的結(jié)論下，求與的數(shù)量關系．解：（1）將點B，點C的坐標分別代入，得：， 1分解得：，．∴該二次函數(shù)的表達式為． 3分（2）設點N的坐標為（n，0）（2＜n＜8），則，．MNBCxAOy∵B（2，0）, C（8，0）,∴BC=10.令，解得：，∴點A（0，4），OA=4，∵MN∥AC，∴． 4分∵OA=4，BC=10，∴． 5分∴． 6分∴當n=3時，即N（3，0）時，△AMN的面積最大． 7分（3）當N（3，0）時，N為BC邊中點.∴M為AB邊中點，∴ 8分∵，∴ 9分∴． 10分24（2017海南）.拋物線經(jīng)過點 和點 。（1）求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；（2）該拋物線與直線 相交于兩點，點是拋物線上的動點且位于軸下方。直線 軸，分別與 軸和直線 交與點。①連結(jié)，如圖121，在點運動過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；②連結(jié) ，過點作，垂足為點，如圖122。是否存在點 ，使得與相似？若存在，求出滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由?！痉治觥浚?）由A、B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）①可設出P點坐標，則可表示出M、N的坐標，聯(lián)立直線與拋物線解析式可求得C、D的坐標，過C、D作PN的垂線，可用t表示出△PCD的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；②當△CNQ與△PBM相似時有=或=兩種情況，利用P點坐標，可分別表示出線段的長，可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0），∴，解得，∴該拋物線對應的函數(shù)解析式為y=x2﹣x+3；（2）①∵點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，∴可設P（t， t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N，∴M（t，0），N（t， t+3），∴PN=t+3﹣（t2﹣t+3）=﹣（t﹣）2+聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分別過C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，則CE=t，DF=7﹣t，∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PNCE+PNDF=PN= [﹣（t﹣）2+]=﹣（t﹣）2+，∴當t=時，△PCD的面積有最大值，最大值為；②存在．∵∠CQN=∠PMB=90176。，∴當△CNQ與△PBM相似時，有=或=兩種情況，∵CQ⊥PM，垂足為Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t， t+3），∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，∴=，∵P（t， t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣t+3）=﹣t2+t﹣3，當=時，則PM=BM，即﹣t2+t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此時P（2，）；當=時，則BM=PM，即5
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