備戰(zhàn)中考數(shù)學二次函數(shù)-經典壓軸題及答案(編輯修改稿)
2025-03-31 23:03 本頁面
【文章內容簡介】 設點E（a，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）若△AOC與△FEB相似，求a的值．（3）當PH＝2時，求點P的坐標．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）點P的坐標為（2，4）或（1，4）或（，4）．【解析】【詳解】（1）點C（0，4），則c＝4，二次函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+bx+4，將點A的坐標代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x+4；（2）tan∠ACO＝＝，△AOC與△FEB相似，則∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝或4，∵四邊形OEFG為正方形，則FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，則或，解得：a＝或；（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故點B（4，0）；分別延長CF、HP交于點N，∵∠PFN+∠BFN＝90176。，∠FPN+∠PFN＝90176。，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x軸，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90176。，F(xiàn)P＝FB，∴△PNF≌△BEF（AAS），∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴點P（2a，4），點H（2a，﹣4a2+6a+4），∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或或或（舍去），故：點P的坐標為（2，4）或（1，4）或（，4）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，其中（2）、（3），要注意分類求解，避免遺漏．8．在平面直角坐標系xOy中(如圖)，已知拋物線y＝x2－2x，其頂點為A．(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標，并說明它的變化情況；(2)我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”①試求拋物線y＝x2－2x的“不動點”的坐標；②平移拋物線y＝x2－2x，使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與x軸交于點C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達式.【答案】(l)拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點A的坐標是(1，－1)，拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側的部分是下降的，右側的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新拋物線的表達式是y＝(x＋1)2－1.【解析】【分析】（1），故該拋物線開口向上，頂點的坐標為；（2）①設拋物線“不動點”坐標為，則，即可求解；②新拋物線頂點為“不動點”，則設點，則新拋物線的對稱軸為：，與軸的交點，四邊形是梯形，則直線在軸左側，而點，點，則，即可求解.【詳解】(l)，拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點A的坐標是(1，－1)，拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側的部分是下降的，右側的部分是上升的.(2)①設拋物線y＝x2－2x的“不動點”坐標為(t，t).則t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3.所以，拋物線y＝x2－2x的“不動點”的坐標是(0，0)、(3，3).②∵新拋物線的頂點B是其“不動點”，∴設點B的坐標為(m，m)∴新拋物線的對稱軸為直線x＝m，與x軸的交點為C(m，0)∵四邊形OABC是梯形，∴直線x＝m在y軸左側.∵BC與OA不平行∴OC∥AB.又∵點A的坐標為(1，一1)，點B的坐標為(m，m)，m＝－1.∴新拋物線是由拋物線y＝x2－2x向左平移2個單位得到的，∴新拋物線的表達式是y＝(x＋1)2－1.【點睛】本題為二次函數(shù)綜合運用題，涉及到二次函數(shù)基本知識、梯形基本性質，此類新定義題目，通常按照題設順序，逐次求解即可.9．已知，如圖，拋物線的頂點為，經過拋物線上的兩點和的直線交拋物線的對稱軸于點．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．（2）在拋物線上兩點之間的部分（不包含兩點），是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）若點在拋物線上，點在軸上，當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點的坐標．【答案】（1）拋物線的表達式為：，直線的表達式為：；（2）存在，理由見解析；點或或或．【解析】【分析】（1）二次函數(shù)表達式為：y=a（x1）2+9，即可求解；（2）S△DAC=2S△DCM，則，即可求解；（3）分AM是平行四邊形的一條邊、AM是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)表達式為：，將點的坐標代入上式并解得：，故拋物線的表達式為：…①，則點，將點的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線的表達式為：；（2）存在，理由：二次函數(shù)對稱軸為：，則點，過點作軸的平行線交于點，設點，點，∵，則，解得：或5（舍去5），故點；（3）設點、點，①當是平行四邊形的一條邊時，點向左平移4個單位向下平移16個單位得到，同理，點向左平移4個單位向下平移16個單位為，即為點，即：，而，解得：或﹣4，故點或；②當是平行四邊形的對角線時，由中點公式得：，而，解得：，故點或；綜上，點或或或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．10．如圖，已知直線與拋物線： 相交于和點兩點.⑴求拋物線的函數(shù)表達式；⑵若點是位于直線上方拋物線上的一動點，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當平行四邊形的面積最大時，求此時四邊形的面積及點的坐標；⑶在拋物線的對稱軸上是否存在定點,使拋物線上任意一點到點的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】⑴；⑵當 ，□MANB=△= ，此時；⑶存在. 當時，無論取任何實數(shù)，均有. 理由見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，求出直線AB的解析式，設點M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數(shù)思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；（3）如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，設拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據BF=BN，CF=CN兩組等量關系列出關于a的方程組，解方程組即可．【詳解】（1）由題意把點（1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=1，c=3，∴此拋
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