【文章內(nèi)容簡介】 為該拋物線的“衍生三角形”，∴N在y軸上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，∵OD=，∴ON=或ON=，∴N點的坐標(biāo)為（0，），（0，）；（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時，如圖2 ，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線的對稱軸為x=1，∴ F點的橫坐標(biāo)為0或2，∵點F在直線AB上，∴當(dāng)F點的橫坐標(biāo)為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，∴E到y(tǒng)軸的距離為EHOF==，即E的縱坐標(biāo)為，∴ E（1，）；當(dāng)F點的橫坐標(biāo)為2時，則F與A重合，不合題意，舍去；②當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時，∵ C（3,0），且A（2，），∴線段AC的中點坐標(biāo)為（， ），設(shè)E（1，t），F(xiàn)（x，y），則x1=2（），y+t=，∴x= 4，y=t，t=（4）+，解得t=，∴E（1，），F(xiàn)（4，）；綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（1，）、（0，）或E（1，），F(xiàn)（4，）【點睛】本題是對二次函數(shù)的綜合知識考查，熟練掌握二次函數(shù)，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題6．如圖，已知頂點為的拋物線與軸交于，兩點，直線過頂點和點．（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）﹣3；（2）yx2﹣3；（3）M的坐標(biāo)為（3，6）或（，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直線y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直線解析式得出點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可；（3）分M在BC上方和下方兩種情況進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）將C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）將y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以點B的坐標(biāo)為（3，0），將（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：yx2﹣3；（3）存在，分以下兩種情況：①若M在B上方，設(shè)MC交x軸于點D，則∠ODC＝45176。+15176。＝60176。，∴OD＝OC?tan30176。，設(shè)DC為y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，聯(lián)立兩個方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；②若M在B下方，設(shè)MC交x軸于點E，則∠OEC＝45176。15176。＝30176。，∴OE＝OC?tan60176。＝3，設(shè)EC為y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k，聯(lián)立兩個方程可得：，解得：，所以M2（，﹣2）．綜上所述M的坐標(biāo)為（3，6）或（，﹣2）．【點睛】此題是一道二次函數(shù)綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識是解題關(guān)鍵．7．如圖，對稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標(biāo)為（－3，0）．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）已知，C為拋物線與y軸的交點．①若點P在拋物線上，且，求點P的坐標(biāo)；②設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．【答案】（1）點B的坐標(biāo)為（1，0）.（2）①點P的坐標(biāo)為（4，21）或（－4，5）.②線段QD長度的最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線的對稱性直接得點B的坐標(biāo)．（2）①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標(biāo)，得到，設(shè)出點P 的坐標(biāo)，根據(jù)列式求解即可求得點P的坐標(biāo)．②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點Q在線段AC上，可設(shè)點Q的坐標(biāo)為(q,q3)，從而由QD⊥x軸交拋物線于點D，得點D的坐標(biāo)為(q,q2+2q3)，從而線段QD等于兩點縱坐標(biāo)之差，列出函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解.【詳解】解：（1）∵A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱 ，且A點的坐標(biāo)為（－3，0），∴點B的坐標(biāo)為（1，0）.（2）①∵拋物線，對稱軸為，經(jīng)過點A（－3，0），∴，解得.∴拋物線的解析式為.∴B點的坐標(biāo)為（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.設(shè)點P的坐標(biāo)為(p,p2+2p3)，則.∵，∴，解得.當(dāng)時；當(dāng)時，∴點P的坐標(biāo)為（4，21）或（－4，5）.②設(shè)直線AC的解析式為，將點A，C的坐標(biāo)代入，得：，解得：.∴直線AC的解析式為.∵點Q在線段AC上，∴設(shè)點Q的坐標(biāo)為(q,q3).又∵QD⊥x軸交拋物線于點D，∴點D的坐標(biāo)為(q,q2+2q3).∴.∵，∴線段QD長度的最大值為.8．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．【答案】（1）.（2）.（3）①.②當(dāng)m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點E的坐標(biāo)為（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可.（2）根據(jù)BC是定值，得到當(dāng)PB+PC最小時，△PBC的周長最小，根據(jù)點的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可.（3）設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，表示出E（m，2m+6），F(xiàn)（m，），最后表示出EF的長，從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），∴可設(shè)拋物線交點式為.又∵拋物線經(jīng)過C（0，3），∴.∴拋物線的解析式為：，即.（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，且BC是定值.∴當(dāng)PB+PC最小時，△PBC的周長最小.∵點A、點B關(guān)于對稱軸I對稱，∴連接AC交l于點P，即點P為所求的點.∵AP=BP，∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.∴△PBC的周長最小是：.（3）①∵拋物線頂點D的坐標(biāo)為（﹣1，4），A（﹣3，0），∴直線AD的解析式為y=2x+6∵點E的橫坐標(biāo)為m，∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，）∴.∴.∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為.②，∴當(dāng)m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點E的坐標(biāo)為（﹣2，2）.9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，頂點為D，直線DC與x軸相交于點E．（1）當(dāng)a=﹣1時，求拋物線頂點D的坐標(biāo)，OE等于多少；（2）OE的長是否與a值有關(guān)，說明你的理由；（3）設(shè)∠DE