20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)與二次函數(shù)有關(guān)的壓軸題(已改無(wú)錯(cuò)字)
2025-03-30 22 本頁(yè)面
【正文】 O=β，45176?！堞隆?0176。，求a的取值范圍；（4）以DE為斜邊，在直線DE的左下方作等腰直角三角形PDE．設(shè)P（m，n），直接寫出n關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）結(jié)論：OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．理由見(jiàn)解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直線CD的解析式即可解決問(wèn)題；(2)利用參數(shù)a，求出直線CD的解析式求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可判斷；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判斷；(4)如圖，作PM⊥對(duì)稱軸于M，PN⊥AB于N．兩條全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.【詳解】解：(1)當(dāng)a=﹣1時(shí)，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，∴頂點(diǎn)D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直線CD的解析式為y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)結(jié)論：OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直線CD的解析式為y=ax﹣3a，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．(3)當(dāng)β=45176。時(shí)，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，當(dāng)β=60176。時(shí)，在Rt△OCE中，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣，∴45176?！堞隆?0176。，a的取值范圍為﹣≤a≤﹣1．(4)如圖，作PM⊥對(duì)稱軸于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90176。，∠DPE=∠MPN=90176。，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，當(dāng)頂點(diǎn)D在x軸上時(shí)，P(1，﹣2)，此時(shí)m的值1，∵拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案為：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。10．如圖，某足球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)射門，(點(diǎn)A在y軸上)，足球的飛行高度y(單位：m)與飛行時(shí)間t(單位：s)之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝at2＋5t＋c，.(1)足球飛行的時(shí)間是多少時(shí)，足球離地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飛行的水平距離x(單位：m)與飛行時(shí)間t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系x＝10t，如果該運(yùn)動(dòng)員正對(duì)球門射門時(shí)，離球門的水平距離為28m，他能否將球直接射入球門？【答案】（1）足球飛行的時(shí)間是s時(shí)，足球離地面最高，；（2）能.【解析】試題分析：（1）由題意得：函數(shù)y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，）（，），于是得到，求得拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+，當(dāng)t=時(shí)，y最大=；（2）把x=28代入x=10t得t=，當(dāng)t=，y=﹣+5+=＜，于是得到他能將球直接射入球門．解：（1）由題意得：函數(shù)y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，）（，），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+，∴當(dāng)t=時(shí)，y最大=；（2）把x=28代入x=10t得t=，∴當(dāng)t=，y=﹣+5+=＜，∴他能將球直接射入球門．考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．11．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱軸l為x=﹣1．（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸l上．①當(dāng)PA⊥NA，且PA=NA時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）①點(diǎn)P（﹣﹣1，2）；②P（﹣ ，）【解析】試題分析：（1）將B、C的坐標(biāo)代入已知的拋物線的解析式，由對(duì)稱軸為即可得到拋物線的解析式；（2）①首先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件得到PD=OA，從而得到方程求得x的值即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②，表示出來(lái)得到二次函數(shù)，求得最值即可．試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱軸l為，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）令，解得或，∴點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x軸于點(diǎn)D，∵點(diǎn)P在上，∴設(shè)點(diǎn)P（x，），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即，解得x=（舍去）或x=，∴點(diǎn)P（，2）；②設(shè)P(x，y)，則，∵=OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=====，∴當(dāng)x=時(shí)，=，當(dāng)x=時(shí)，=，此時(shí)P（，）．考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．最值問(wèn)題；4．壓軸題．12．已知，如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)和的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．（2）在拋物線上兩點(diǎn)之間的部分（不包含兩點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：，直線的表達(dá)式為：；（2）存在，理由見(jiàn)解析；點(diǎn)或或或．【解析】【分析】（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：y=a（x1）2+9，即可求解；（2）S△DAC=2S△DCM，則，即可求解；（3）分AM是平行四邊形的一條邊、AM是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：，故拋物線的表達(dá)式為：…①，則點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線的表達(dá)式為：；（2）存在，理由：二次函數(shù)對(duì)稱軸為：，則點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，∵，則，解得：或5（舍去5），故點(diǎn)；（3）設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)，①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)，點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位得到，同理，點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位為，即為點(diǎn)，即：，而，解得：或﹣4，故點(diǎn)或；②當(dāng)是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：，而，解得：，故點(diǎn)或；綜上，點(diǎn)或或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．13．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3 的圖象與x軸分別交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，試判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）將直線BC向上平移t(t0)個(gè)單位，平移后的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在y軸的右側(cè)），當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，求t的值．【答案】（1）；（2）△BCD為直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，t的值為1或4．【解析】【分析】（
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