備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題之二次函數(shù)(備戰(zhàn)中考題型整理-突破提升)(編輯修改稿)
2025-03-31 22:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 再根據(jù)頂點在直線上得出關(guān)于m的方程，解之即可（Ⅲ）先求出拋物線的頂點坐標(biāo)，結(jié)合（Ⅱ）拋物線的頂點坐標(biāo)，和x的取值范圍，分三種情形討論求解即可；【詳解】解：（Ⅰ）將點代入的解析式，解得（Ⅱ）拋物線的頂點坐標(biāo)為，令，得∵，∴（Ⅲ）∵拋物線的頂點，拋物線的頂點，當(dāng)時，最高點是拋物線G1的頂點∴，解得當(dāng)時，G1中（2，2m1）是最高點，2m1∴2m1，解得當(dāng)時，G2中（4，4m9）是最高點，4m9．∴4m9，解得.綜上所述，即為所求.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法、不等式組等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考壓軸題．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x軸于A，B(1，0)兩點，交y軸于點C，一次函數(shù)y＝x+3的圖象交坐標(biāo)軸于A，D兩點，E為直線AD上一點，作EF⊥x軸，交拋物線于點F(1)求拋物線的解析式；(2)若點F位于直線AD的下方，請問線段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點E的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由；(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點G，使得G，E，D，C為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點G的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；(2)，(，)；(3)點G的坐標(biāo)為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；（2）由函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：可設(shè)點E的坐標(biāo)為（m，m+3），點F的坐標(biāo)為（m， m2+m﹣1），由此得到EF＝﹣m2+m+4，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可；（3）分三種情形①如圖1中，當(dāng)EG為菱形對角線時．②如圖3中，當(dāng)EC為菱形的對角線時，③如圖4中，當(dāng)ED為菱形的對角線時，分別求解即可．【詳解】解：(1)將y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴點A的坐標(biāo)為(﹣3，0)．設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x﹣x 1)(x﹣x 2)，點A的坐標(biāo)為(﹣3，0)，點B的坐標(biāo)為(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵點C的坐標(biāo)為(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；(2)設(shè)點E的坐標(biāo)為(m，m+3)，線段EF的長度為y，則點F的坐標(biāo)為(m，m 2+m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( m 2+m﹣1)＝﹣m 2+m+4即y＝(m﹣) 2+，此時點E的坐標(biāo)為(，)；(3)點G的坐標(biāo)為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如圖1，當(dāng)四邊形CGDE為菱形時．∴EG垂直平分CD∴點E的縱坐標(biāo)y＝＝1，將y＝1帶入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG關(guān)于y軸對稱，∴點G的坐標(biāo)為(2，1)；②如圖2，當(dāng)四邊形CDEG為菱形時，以點D為圓心，DC的長為半徑作圓，交AD于點E，可得DC＝DE，構(gòu)造菱形CDEG設(shè)點E的坐標(biāo)為(n，n+3)，點D的坐標(biāo)為(0，3)∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．∴點E的坐標(biāo)為(﹣2，﹣2+3)或(2，2+3)將點E向下平移4個單位長度可得點G，點G的坐標(biāo)為(﹣2，﹣2﹣1)(如圖2)或(2，2﹣1)(如圖3)③如圖4，“四邊形CDGE為菱形時，以點C為圓心，以CD的長為半徑作圓，交直線AD于點E，設(shè)點E的坐標(biāo)為(k，k+3)，點C的坐標(biāo)為(0，﹣1)．∴EC＝＝．∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．∴點E的坐標(biāo)為(﹣4，﹣1)將點E上移1個單位長度得點G．∴點G的坐標(biāo)為(﹣4，3)．綜上所述，點G的坐標(biāo)為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)． 【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、軸對稱變換、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最值問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．9．在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點、若滿足：當(dāng)時，；當(dāng)時，，則稱點為點的“友好點”.（1）點的“友好點”的坐標(biāo)是_______.（2）點是直線上的一點，點是點的“友好點”.①當(dāng)點與點重合時，求點的坐標(biāo).②當(dāng)點與點不重合時，求線段的長度隨著的增大而減小時，的取值范圍.【答案】（1）；（2）①點的坐標(biāo)是或；②當(dāng)或時，的長度隨著的增大而減小；【解析】【分析】（1）直接利用“友好點”定義進(jìn)行解題即可；（2）先利用 “友好點”定義求出B點坐標(biāo)，A點又在直線上，得到；①當(dāng)點和點重合，得．解出即可，②當(dāng)點A和點B不重合， 且．所以對a分情況討論，1176。、當(dāng)或時，所以當(dāng)a≤時，的長度隨著的增大而減小，即?。?176。當(dāng)時，當(dāng)時，的長度隨著的增大而減小，即?。?綜上，當(dāng)或時，的長度隨著的增大而減小．【詳解】（1）點，4＞1，根據(jù)“友好點”定義，得到點的“友好點”的坐標(biāo)是（2）點是直線上的一點，．，根據(jù)友好點的定義，點的坐標(biāo)為， ①當(dāng)點和點重合，．解得或． 當(dāng)時，；當(dāng)時，點的坐標(biāo)是或． ②當(dāng)點A和點B不重合，且．當(dāng)或時，． 當(dāng)a≤時，的長度隨著的增大而減小，?。?dāng)時， ．當(dāng)時，的長度隨著的增大而減小，?。?綜上，當(dāng)或時，的長度隨著的增大而減小．【點睛】本題屬于閱讀理解題型，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行解題，第二問的第二小問的關(guān)鍵是求出AB的長用a進(jìn)行表示，然后利用二次函數(shù)基本性質(zhì)進(jìn)行分類討論10．如圖，已知點A（0，2），B（2，2），C（1，2），拋物線F：y=x22mx+m22與直線x=2交于點P．（1）當(dāng)拋物線F經(jīng)過點C時，求它的解析式；（2）設(shè)點P的縱坐標(biāo)為yP，求yP的最小值，此時拋物線F上有兩點（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤2，比較y1與y2的大小.【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物
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