備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)備考之二次函數(shù)壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)易錯試卷篇(1)(編輯修改稿)
2025-03-31 23:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 了待定系數(shù)法求二次的解析式，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及待定系數(shù)法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．7．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點A、與y軸交于點B，直線CD與x軸交于點C、與y軸交于點D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經(jīng)過點A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為： （直接填空）；（2）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，點P為第二象限”母線”上的動點，連接OP，交”姊線”CD于點Q，設(shè)點P的橫坐標為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點G為AB的中點，點H為CD的中點，連接OH，若GH＝，請直接寫出AB的”母線”的函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點A、B、C的坐標，從而求得直線CD的表達式；（3）設(shè)點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達式，將直線OP和CD表達式聯(lián)立并解得點Q坐標，由此求得，從而求得y＝﹣m2﹣m+3，故當m＝﹣，y最大值為；（4）由直線AB的解析式可得AB的“姊線”CD的表達式y(tǒng)＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得點C、D的坐標，由此可得點H坐標，同理可得點G坐標，由勾股定理得：m值，即可求得點A、B、C的坐標，從而得到 “母線”函數(shù)的表達式．【詳解】（1）由題意得：k＝﹣3，b＝6，則答案為：y＝（x+6）；（2）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2或﹣4，點A、B、C的坐標分別為（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），則直線CD的表達式為：y＝（x+4）＝x+2；（3）設(shè)點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，則直線OP的表達式為：y＝x，將直線OP和CD表達式聯(lián)立得，解得：點Q（，）則＝﹣m2﹣m+4，y＝＝﹣m2﹣m+3，當m＝﹣，y最大值為；（4）直線CD的表達式為：y＝﹣（x+3），令x＝0，則y＝﹣，令y＝0，則x＝﹣3，故點C、D的坐標為（﹣3，0）、（0，﹣），則點H（﹣，﹣），同理可得：點G（﹣，），則GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），則點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），則“母線”函數(shù)的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母線”函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題目，考查了“姊線”的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.8．已知拋物線上有兩點M(m+1，a)、N(m，b).(1)當a＝－1，m＝1時，求拋物線的解析式；(2)用含a、m的代數(shù)式表示b和c；(3)當a＜0時，拋物線滿足，，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）b=am，c=am；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到M(2，－1)、N(1，b)，代入拋物線解析式即可求出b、c；（2）將點M(m+1，a)、N(m，b)代入拋物線，可得，化簡即可得出；（3）把，代入可得，把，代入可得，然后根據(jù)m的取值范圍可得a的取值范圍.【詳解】解：(1)∵a＝－1，m＝1，∴M(2，－1)、N(1，b)由題意，得，解，得 (2) ∵點M(m+1，a)、N(m，b)在拋物線上①－②得，∴ 把代入②，得 (3)把，代入得，把，代入得， ，當時，隨m的增大而增大 即【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，由函數(shù)圖像上點的坐標特征求出，是解題關(guān)鍵.9．如圖，已知拋物線的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）。（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標。【答案】（1）（2）（3）P的坐標為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）【解析】【分析】（1）由B（5，0），C（0，5），應(yīng)用待定系數(shù)法即可求直線BC與拋物線的解析式。（2）構(gòu)造MN關(guān)于點M橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解。（3）根據(jù)S1=6S2求得BC與PQ的距離h，從而求得PQ由BC平移的距離，根據(jù)平移的性質(zhì)求得PQ的解析式，與拋物線聯(lián)立，即可求得點P的坐標?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)直線BC的解析式為，將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。∴直線BC的解析式為。將B（5，0），C（0，5）代入，得，得?！鄴佄锞€的解析式。（2）∵點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，∴設(shè)M?！唿cN是直線BC上與點M橫坐標相同的點，∴N?！弋旤cM在拋物線在x軸下方時，N的縱坐標總大于M的縱坐標?！??！郙N的最大值是。（3）當MN取得最大值時，N。∵的對稱軸是，B（5，0），∴A（1，0）?！郃B=4?！?。由勾股定理可得。設(shè)BC與PQ的距離為h，則由S1=6S2得：，即。如圖，過點B作平行四邊形CBPQ的高BH，過點H作x軸的垂線交點E ，則BH=，EH是直線BC沿y軸方向平移的距離。易得，△BEH是等腰直角三角形，∴EH=?！嘀本€BC沿y軸方向平移6個單位得PQ的解析式：或。當時，與聯(lián)立，得，解得或。此時，點P的坐標為（－1，12）或（6，5）。當時，與聯(lián)立，得，解得或。此時，點P的坐標為（2，－3）或（3，－4）。綜上所述，點P的坐標為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。10．拋物線L：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（0，1），與它的對稱軸直線x=1交于點B．（1）直接寫出拋物線L的解析式；（2）如圖1，過定點的直線y=kx﹣k+4（k＜0）與拋物線L交于點M、N．若△BMN的面積等于
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