備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合經(jīng)典題含答案解析(編輯修改稿)
2025-04-02 00:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 “衍生直線”的解析式為 ，點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，求點N的坐標；（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“衍生直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2，）；（1,0）；（2）N點的坐標為（0，），（0，）；（3）E（1，）、F（0，）或E（1，），F(xiàn)（4，）【解析】【分析】（1）由拋物線的“衍生直線”知道二次函數(shù)解析式的a即可；（2）過A作AD⊥y軸于點D，則可知AN=AC，結(jié)合A點坐標，則可求出ON的長，可求出N點的坐標；（3）分別討論當AC為平行四邊形的邊時，當AC為平行四邊形的對角線時，求出滿足條件的E、F坐標即可【詳解】（1）∵，a=，則拋物線的“衍生直線”的解析式為；聯(lián)立兩解析式求交點，解得或，∴A（2，），B（1,0）；（2）如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，在中，令y=0可求得x= 3或x=1，∴C（3,0），且A（2，），∴AC=由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，∵△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，∴N在y軸上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，∵OD=，∴ON=或ON=，∴N點的坐標為（0，），（0，）；（3）①當AC為平行四邊形的邊時，如圖2 ，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線的對稱軸為x=1，∴ F點的橫坐標為0或2，∵點F在直線AB上，∴當F點的橫坐標為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，∴E到y(tǒng)軸的距離為EHOF==，即E的縱坐標為，∴ E（1，）；當F點的橫坐標為2時，則F與A重合，不合題意，舍去；②當AC為平行四邊形的對角線時，∵ C（3,0），且A（2，），∴線段AC的中點坐標為（， ），設(shè)E（1，t），F(xiàn)（x，y），則x1=2（），y+t=，∴x= 4，y=t，t=（4）+，解得t=，∴E（1，），F(xiàn)（4，）；綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（1，）、（0，）或E（1，），F(xiàn)（4，）【點睛】本題是對二次函數(shù)的綜合知識考查，熟練掌握二次函數(shù)，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題9．在平面直角坐標系中，拋物線過點，與y軸交于點C，連接AC，BC，將沿BC所在的直線翻折，得到，連接OD．（1）用含a的代數(shù)式表示點C的坐標．（2）如圖1，若點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式．（3）設(shè)的面積為S1，的面積為S2，若，求a的值．【答案】（1）；(2) 拋物線的表達式為：；(3) 或【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，得到拋物線的表達式為：，即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可求解；（3）連接OD交BC于點H，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，由三角形的面積公式得到，，而，即可求解．【詳解】（1）拋物線的表達式為：，即，則點；（2）過點B作y軸的平行線BQ，過點D作x軸的平行線交y軸于點P、交BQ于點Q，∵，∴，設(shè)：，點，∴，∴，其中：，，，將以上數(shù)值代入比例式并解得：，∵，故，故拋物線的表達式為：；（3）如圖2，當點C在x軸上方時，連接OD交BC于點H，則，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，設(shè)：，，而，則，∴，則，則，則，則，則，解得：（舍去負值），解得：（不合題意值已舍去），故：．當點C在x軸下方時，同理可得：；故：或【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用、一次函數(shù)、三角形相似、圖形的面積計算，其中（3）用幾何方法得出：，是本題解題的關(guān)鍵．10．如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點，與x軸另一交點為A．點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動（點P不與點B和點C重合），設(shè)運動時間為t秒，過點P作x軸垂線交x軸于點E，交拋物線于點M．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①，過點P作y軸垂線交y軸于點N，連接MN交BC于點Q，當時，求t的值；（3）如圖②，連接AM交BC于點D，當△PDM是等腰三角形時，直接寫出t的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值為；（3）當△PDM是等腰三角形時，t＝1或t＝﹣1．【解析】【分析】（1）求直線y=x+4與x軸交點B，與y軸交點C，用待定系數(shù)法即求得拋物線解析式．（2）根據(jù)點B、C坐標求得∠OBC=45176。，又PE⊥x軸于點E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各線段，得到點M的橫坐標，進而用m表示點M縱坐標，求得MP的長．根據(jù)MP∥CN可證，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到關(guān)于t的方程，求解即得到t的值．（3）因為不確定等腰△PDM的底和腰，故需分3種情況討論：①若MD=MP，則∠MDP=∠MPD=45176。，故有∠DMP=90176。，不合題意；②若DM=DP，則∠DMP=∠MPD=45176。，進而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，則∠PMD=∠PDM，由對頂角相等和兩直線平行內(nèi)錯角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF進而得CF=CD．用t表示M的坐標，求直線AM解析式，求得AM與y軸交點F的坐標，即能用t表示CF的長．把直線AM與直線BC解析式聯(lián)立方程組，解得x的值即為點D橫坐標．過D作y軸垂線段DG，得等腰直角△CDG，用DG即點D橫坐標，進而可用t表示CD的長．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．【詳解】（1）直線y＝﹣x+4中，當x＝0時，y＝4∴C（0，4）當y＝﹣x+4＝0時，解得：x＝4∴B（4，0）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點∴ 解得：∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90176?！郞B＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45176?！進E⊥x軸于點E，PB＝t∴∠BEP＝90176?！郣t△BEP中， ∴，∴ ∵點M在拋物線上∴，∴ ，∵PN⊥y軸于點N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90176?！嗨倪呅蜲NPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴ ∴ 解得：（點P不與點C重合，故舍去）∴t的值為 （3）∵∠PEB＝90176。，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45176?！唷螹PD＝∠BPE＝45176。①若MD＝MP，則∠MDP＝∠MPD＝45176?！唷螪MP＝90176。，即DM∥x軸，與題意矛盾②若DM＝DP，則∠DMP＝∠MPD＝45176?！摺螦EM＝90176?！郃E＝ME∵y＝﹣x2+3x+4＝0時，解得：x1＝﹣1，x2＝4∴A（﹣1，0）
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