【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N停止運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)N停止運(yùn)動(dòng)后，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．【解析】【分析】（1）直接待定系數(shù)法代入求解即可 （2）找到D點(diǎn)在對(duì)稱軸時(shí)是△DAC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，先求出直線BC，然后D點(diǎn)橫坐標(biāo)是1，直接代入直線BC求出縱坐標(biāo)即可 （3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，易證△ABF∽△EHF，得,得EH=2，設(shè)E（x，），則H（x﹣2，），yE＝y(tǒng)H，解出方程x＝1或x＝2，得到E點(diǎn)坐標(biāo) （4）△PBN是等腰三角形，分成三種情況，①BP＝BC時(shí)，利用等腰三角性質(zhì)直接得到P1（﹣1，0）或P2（7，0），②當(dāng)NB＝NP時(shí)，作NH⊥x軸，易得△NHB∽△COB，利用比例式得到NH、 BH從而得到 PH＝BH，BP，進(jìn)而得到OP，即得到P點(diǎn)坐標(biāo)，③當(dāng)PN＝PB時(shí)，取NB中點(diǎn)K，作KP⊥BN，交x軸于點(diǎn)P，易得△NOB∽△PKB，利用比例式求出PB，進(jìn)而得到OP，即求出P點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+4，得 解得a＝，b＝，∴拋物線的解析式；（2）∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，∴D的橫坐標(biāo)為1，由（1）可得C（0，4），∵B（3，0），∴直線BC：∵DA＝DB，△DAC的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD，連接BC，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，此時(shí)CD+BD最小，∵AC為定值，∴此時(shí)△DAC的周長(zhǎng)，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+4＝，∴D（1，）；（3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，∴△ABF∽△EHF，∵AF：FE＝2：1，∴，∵AB＝4，∴EH＝2，設(shè)E（x，），則H（x﹣2，）∵EH∥AB，∴yE＝y(tǒng)H，∴=解得x＝1或x＝2，y＝或4，∴E（1，）或（2，4）；（4）∵A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，4）∴AB＝4，OC＝4，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，BM＝AB＝4，∴BN＝4，∵△PBN是等腰三角形，①BP＝BC時(shí)，若P在點(diǎn)B左側(cè)，OP＝PB﹣OB＝4﹣3＝1，∴P1（﹣1，0），若P在點(diǎn)B右側(cè)，OP＝OB+BP＝4+3＝7，∴P2（7，0）；②當(dāng)NB＝NP時(shí)，作NH⊥x軸，△NHB∽△COB，∴∴NH＝OC＝＝， BH＝BC＝，∴PH＝BH＝，BP＝，∴OP＝BP﹣OB＝，∴P3（﹣，0）；③當(dāng)PN＝PB時(shí)，取NB中點(diǎn)K，作KP⊥BN，交x軸于點(diǎn)P，∴△NOB∽△PKB，∴∴PB＝，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣＝P4（，0）綜上，當(dāng)△PBN是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)、平行線性質(zhì)、相似三角形、等腰三角形性質(zhì)及最短距離等知識(shí)點(diǎn)，綜合程度比較高，對(duì)綜合能力要求比較高. 第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，考查待定系數(shù)法；第二問(wèn)最短距離，找到D點(diǎn)是解題關(guān)鍵；第三問(wèn)證明出相似是關(guān)鍵；第四問(wèn)能夠分情況討論是解題關(guān)鍵8．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為20cm，∠ABC＝120176。，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/s的速度，沿A→B的路線向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BD，與AC相交于點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0＜t＜5．（1）設(shè)四邊形PQCB的面積為S，求S與t的關(guān)系式；（2）若點(diǎn)Q關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點(diǎn)N，當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上？（3）直線PN與AC相交于H點(diǎn)，連接PM，NM，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PN平分四邊形APMN的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1) S=﹣2（0＜t＜5）； (2) 。(3)見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）如圖1，根據(jù)S=S△ABCS△APQ，代入可得S與t的關(guān)系式；（2）設(shè)PM=x，則AM=2x，可得AP=x=4t，計(jì)算x的值，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得AM=2PM=，根據(jù)AM=AO+OM，列方程可得t的值；（3）存在，通過(guò)畫圖可知：N在CD上時(shí)，直線PN平分四邊形APMN的面積，根據(jù)面積相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60176。，AC⊥BD，∴∠OAB=30176。，∵AB=20，∴OB=10，AO=10，由題意得：AP=4t，∴PQ=2t，AQ=2t，∴S=S△ABC﹣S△APQ，=，= ，=﹣2t2+100（0＜t＜5）；（2）如圖2，在Rt△APM中，AP=4t，∵點(diǎn)Q關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為M，∴OM=OQ，設(shè)PM=x，則AM=2x，∴AP=x=4t，∴x=，∴AM=2PM=，∵AM=AO+OM，∴=10+10﹣2t，t=；答：當(dāng)t為秒時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上；（3）存在，如圖3，∵直線PN平分四邊形APMN的面積，∴S△APN=S△PMN，過(guò)M作MG⊥PN于G，∴ ，∴MG=AP，易得△APH≌△MGH，∴AH=HM=t，∵AM=AO+OM，同理可知：OM=OQ=10﹣2t，t=10=10﹣2t，t=．答：當(dāng)t為秒時(shí)，使得直線PN平分四邊形APMN的面積．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，三角形和四邊形的面積，二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，計(jì)算量大，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所構(gòu)成的三角形各邊的關(guān)系.9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，直線CD與x軸交于點(diǎn)C、與y軸交于點(diǎn)D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為：　 　（直接填空）；（2）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)P為第二象限”母線”上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，交”姊線”CD于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，連接OH，若GH＝，請(qǐng)直接寫出AB的”母線”的函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，從而求得直線CD的表達(dá)式；（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達(dá)式，將直線OP和CD表達(dá)式聯(lián)立并解得點(diǎn)Q坐標(biāo)，由此求得，從而求得y＝﹣m