【文章內(nèi)容簡介】 點A時，點N停止運動，則當點N停止運動后，在x軸上是否存在點P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）點P的坐標P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．【解析】【分析】（1）直接待定系數(shù)法代入求解即可 （2）找到D點在對稱軸時是△DAC周長最小的點，先求出直線BC，然后D點橫坐標是1，直接代入直線BC求出縱坐標即可 （3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，易證△ABF∽△EHF，得,得EH=2，設(shè)E（x，），則H（x﹣2，），yE＝y(tǒng)H，解出方程x＝1或x＝2，得到E點坐標 （4）△PBN是等腰三角形，分成三種情況，①BP＝BC時，利用等腰三角性質(zhì)直接得到P1（﹣1，0）或P2（7，0），②當NB＝NP時，作NH⊥x軸，易得△NHB∽△COB，利用比例式得到NH、 BH從而得到 PH＝BH，BP，進而得到OP，即得到P點坐標，③當PN＝PB時，取NB中點K，作KP⊥BN，交x軸于點P，易得△NOB∽△PKB，利用比例式求出PB，進而得到OP，即求出P點坐標【詳解】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+4，得 解得a＝，b＝，∴拋物線的解析式；（2）∴拋物線對稱軸為直線x＝1，∴D的橫坐標為1，由（1）可得C（0，4），∵B（3，0），∴直線BC：∵DA＝DB，△DAC的周長＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD，連接BC，與對稱軸交于點D，此時CD+BD最小，∵AC為定值，∴此時△DAC的周長，當x＝1時，y＝﹣1+4＝，∴D（1，）；（3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，∴△ABF∽△EHF，∵AF：FE＝2：1，∴，∵AB＝4，∴EH＝2，設(shè)E（x，），則H（x﹣2，）∵EH∥AB，∴yE＝y(tǒng)H，∴=解得x＝1或x＝2，y＝或4，∴E（1，）或（2，4）；（4）∵A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，4）∴AB＝4，OC＝4，點M運動到點A時，BM＝AB＝4，∴BN＝4，∵△PBN是等腰三角形，①BP＝BC時，若P在點B左側(cè)，OP＝PB﹣OB＝4﹣3＝1，∴P1（﹣1，0），若P在點B右側(cè)，OP＝OB+BP＝4+3＝7，∴P2（7，0）；②當NB＝NP時，作NH⊥x軸，△NHB∽△COB，∴∴NH＝OC＝＝， BH＝BC＝，∴PH＝BH＝，BP＝，∴OP＝BP﹣OB＝，∴P3（﹣，0）；③當PN＝PB時，取NB中點K，作KP⊥BN，交x軸于點P，∴△NOB∽△PKB，∴∴PB＝，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣＝P4（，0）綜上，當△PBN是等腰三角形時，點P的坐標P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．【點睛】本題考查二次函數(shù)、平行線性質(zhì)、相似三角形、等腰三角形性質(zhì)及最短距離等知識點，綜合程度比較高，對綜合能力要求比較高. 第一問比較簡單，考查待定系數(shù)法；第二問最短距離，找到D點是解題關(guān)鍵；第三問證明出相似是關(guān)鍵；第四問能夠分情況討論是解題關(guān)鍵8．如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120176。，對角線AC，BD相交于點O，動點P從點A出發(fā)，以4cm/s的速度，沿A→B的路線向點B運動；過點P作PQ∥BD，與AC相交于點Q，設(shè)運動時間為t秒，0＜t＜5．（1）設(shè)四邊形PQCB的面積為S，求S與t的關(guān)系式；（2）若點Q關(guān)于O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N，當t為何值時，點P、M、N在一直線上？（3）直線PN與AC相交于H點，連接PM，NM，是否存在某一時刻t，使得直線PN平分四邊形APMN的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1) S=﹣2（0＜t＜5）； (2) 。(3)見解析.【解析】【分析】（1）如圖1，根據(jù)S=S△ABCS△APQ，代入可得S與t的關(guān)系式；（2）設(shè)PM=x，則AM=2x，可得AP=x=4t，計算x的值，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得AM=2PM=，根據(jù)AM=AO+OM，列方程可得t的值；（3）存在，通過畫圖可知：N在CD上時，直線PN平分四邊形APMN的面積，根據(jù)面積相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60176。，AC⊥BD，∴∠OAB=30176。，∵AB=20，∴OB=10，AO=10，由題意得：AP=4t，∴PQ=2t，AQ=2t，∴S=S△ABC﹣S△APQ，=，= ，=﹣2t2+100（0＜t＜5）；（2）如圖2，在Rt△APM中，AP=4t，∵點Q關(guān)于O的對稱點為M，∴OM=OQ，設(shè)PM=x，則AM=2x，∴AP=x=4t，∴x=，∴AM=2PM=，∵AM=AO+OM，∴=10+10﹣2t，t=；答：當t為秒時，點P、M、N在一直線上；（3）存在，如圖3，∵直線PN平分四邊形APMN的面積，∴S△APN=S△PMN，過M作MG⊥PN于G，∴ ，∴MG=AP，易得△APH≌△MGH，∴AH=HM=t，∵AM=AO+OM，同理可知：OM=OQ=10﹣2t，t=10=10﹣2t，t=．答：當t為秒時，使得直線PN平分四邊形APMN的面積．【點睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，三角形和四邊形的面積，二次根式的化簡等知識點，計算量大，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握動點運動時所構(gòu)成的三角形各邊的關(guān)系.9．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點A、與y軸交于點B，直線CD與x軸交于點C、與y軸交于點D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經(jīng)過點A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為：　 　（直接填空）；（2）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，點P為第二象限”母線”上的動點，連接OP，交”姊線”CD于點Q，設(shè)點P的橫坐標為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點G為AB的中點，點H為CD的中點，連接OH，若GH＝，請直接寫出AB的”母線”的函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點A、B、C的坐標，從而求得直線CD的表達式；（3）設(shè)點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達式，將直線OP和CD表達式聯(lián)立并解得點Q坐標，由此求得，從而求得y＝﹣m