【文章內容簡介】 G．∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90176。，∴點A與A39。關于直線BC對稱，AB＝A39。B，可知△AFB≌△A39。HB（AAS），∵A（1，﹣1），B（2，0）∴AG＝1，BG＝OG＝1，∴BH＝1，A39。H＝1，OH＝3，∴A39。（3，1），∵C（﹣1，3），∴直線A39。C：，聯立：，解得或，∴E（，）；（4）∵拋物線的對稱軸：直線x＝1，∴設F（1，m），直線BC的解析式：y＝﹣x+2；∴D（0，2）∵B（2，0），∴BD＝，①當BF＝BD時，m＝177。，∴F坐標（1，）或（1，﹣）②當DF＝BD時，m＝2177。，∴F坐標（1，2+）或（1，2﹣）③當BF＝DF時，m＝1，F（1，1），此時B、D、F在同一直線上，不符合題意．綜上，符合條件的點F的坐標（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．【點睛】考查了二次函數，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點．（1）求拋物線的函數表達式；（2）如圖1，P為拋物線上在第二象限內的一點，若△PAC面積為3，求點P的坐標；（3）如圖2，D為拋物線的頂點，在線段AD上是否存在點M，使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點P的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數法，然后將A、B、C的坐標代入解析式即可求得二次函數的解析式；（2））過P點作PQ垂直x軸，交AC于Q，把△APC分成兩個△APQ與△CPQ，把PQ作為兩個三角形的底，通過點A，C的橫坐標表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積．（3）通過三角形函數計算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，∠AOM=∠CAB=45176。，即OM為y=x，若∠AOM=∠CBA，則OM為y=3x+3，然后由直線解析式可求OM與AD的交點M．【詳解】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入拋物線解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c得，解得，所以拋物線的函數表達式為y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）圖1，過P點作PQ平行y軸，交AC于Q點，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC解析式為y＝x+3，設P點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3．），則Q點坐標為（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．∴S△PAC＝，∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．當x＝﹣1時，P點坐標為（﹣1，4），當x＝﹣2時，P點坐標為（﹣2，3），綜上所述：若△PAC面積為3，點P的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）圖1，過D點作DF垂直x軸于F點，過A點作AE垂直BC于E點，∵D為拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的頂點，∴D點坐標為（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直線AC為y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∵AC＝4，∴AE＝AC?sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，∴∠ACB＝∠PAB，∴使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解（3）圖2Ⅰ．當∠AOM＝∠CAB＝45176。時，△ABC∽△OMA，即OM為y＝﹣x，設OM與AD的交點M（x，y）依題意得：，解得，即M點為（，）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∴直線OM為y＝﹣3x，設直線OM與AD的交點M（x，y）．則依題意得：，解得，即M點為（，），綜上所述：存在使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似的點M，其坐標為（，）或（，）．【點睛】本題結合三角形的性質考查二次函數的綜合應用，函數和幾何圖形的綜合題目，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，頂點為D，直線DC與x軸相交于點E．（1）當a=﹣1時，求拋物線頂點D的坐標，OE等于多少；（2）OE的長是否與a值有關，說明你的理由；（3）設∠DEO=β，45176?！堞隆?0176。，求a的取值范圍；（4）以DE為斜邊，在直線DE的左下方作等腰直角三角形PDE．設P（m，n），直接寫出n關于m的函數解析式及自變量m的取值范圍．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）結論：OE的長與a值無關．理由見解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直線CD的解析式即可解決問題；(2)利用參數a，求出直線CD的解析式求出點E坐標即可判斷；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判斷；(4)如圖，作PM⊥對稱軸于M，PN⊥AB于N．兩條全等三角形的性質即可解決問題.【詳解】解：(1)當a=﹣1時，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，∴頂點D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直線CD的解析式為y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)結論：OE的長與a值無關．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直線CD的解析式為y=ax﹣3a，當y=0時，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的長與a值無關．(3)當β=45176。時，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，當β=60176。時，在Rt△OCE中，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣，∴45176?！堞隆?0176。，a的取值范圍為﹣≤a≤﹣1．(4)如圖，作PM⊥對稱軸于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90176。，∠DPE=∠MPN=90176。，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，當頂點D在x軸上時，P(1，﹣2)，此時m的值1，∵拋物線的頂點在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案為：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的長與a值無關；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象與性質。10．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標為（﹣1，0），點O為坐標原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當△