【文章內(nèi)容簡介】 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；（3）當(dāng)矩形MNHG的周長最大時(shí)，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點(diǎn)P，使的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1） （2）最大值為10（3）故點(diǎn)P坐標(biāo)為：或或．【解析】【分析】（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG的周長，即可求解；（3），解得：，即可求解．【詳解】（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，故函數(shù)表達(dá)式為：…①；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，則， 矩形MNHG的周長，∵，故當(dāng)，C有最大值，最大值為10，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)D重合；（3）的面積是矩形MNHG面積的，則， 連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，過點(diǎn)P作y軸的平行線交CD、直線n于點(diǎn)H、G，即， 過點(diǎn)P作于點(diǎn)K，將、坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線CD的表達(dá)式為：， ，∴， 設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，解得：，則， 解得：， 故點(diǎn)，直線n的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：， 即點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為； 故點(diǎn)P坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M（m，n）為拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣1）．（3）定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2，由拋物線過點(diǎn)（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo)．詳解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2．∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x2）2=x2x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點(diǎn)B（4，1），直線l為y=1，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=x+，當(dāng)y=1時(shí)，有x+=1，解得：x=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1）．（3）∵點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，∴（mx0）2+（ny0）2=（n+1）2，∴m22x0m+x022y0n+y02=2n+1．∵M(jìn)（m，n）為拋物線上一動點(diǎn)，∴n=m2m+1，∴m22x0m+x022y0（m2m+1）+y02=2（m2m+1）+1，整理得：（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短找出點(diǎn)P的位置；（3）根據(jù)點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于x0、y0的方程組．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若△PAC面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，D為拋物線的頂點(diǎn)，在線段AD上是否存在點(diǎn)M，使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，然后將A、B、C的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；（2））過P點(diǎn)作PQ垂直x軸，交AC于Q，把△APC分成兩個△APQ與△CPQ，把PQ作為兩個三角形的底，通過點(diǎn)A，C的橫坐標(biāo)表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積．（3）通過三角形函數(shù)計(jì)算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，∠AOM=∠CAB=45176。，即OM為y=x，若∠AOM=∠CBA，則OM為y=3x+3，然后由直線解析式可求OM與AD的交點(diǎn)M．【詳解】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入拋物線解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c得，解得，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）圖1，過P點(diǎn)作PQ平行y軸，交AC于Q點(diǎn)，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC解析式為y＝x+3，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3．），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．∴S△PAC＝，∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），當(dāng)x＝﹣2時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），綜上所述：若△PAC面積為3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）圖1，過D點(diǎn)作DF垂直x軸于F點(diǎn)，過A點(diǎn)作AE垂直BC于E點(diǎn)，∵D為拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的頂點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直線AC為y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∵AC＝4，∴AE＝AC?sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，∴∠ACB＝∠PAB，∴使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解（3）圖2Ⅰ．當(dāng)∠AOM＝∠CAB＝45176