備戰(zhàn)中考數(shù)學二次函數(shù)綜合經(jīng)典題含答案解析-資料下載頁
2025-04-02 00:27本頁面
【正文】 5176。，∵AM⊥BC，∴△AMB為等腰直角三角形，∴AM=AB=4=2，∵以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，AM∥PQ，∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，則∠PDQ=45176。，∴PD=PQ=2=4，設P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），當P點在直線BC上方時，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，當P點在直線BC下方時，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，綜上所述，P點的橫坐標為4或或；②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB為等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式為y=5x﹣5，E點坐標為（，﹣，設直線EM1的解析式為y=﹣x+b，把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，∴直線EM1的解析式為y=﹣x﹣解方程組得，則M1（，﹣）；作直線BC上作點M1關于N點的對稱點M2，如圖2，則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設M2（x，x﹣5），∵3=∴x=，∴M2（，﹣）.綜上所述，點M的坐標為（，﹣）或（，﹣）．點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．14．綜合與探究如圖，拋物線y=與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，過點P作PE∥AC交x軸于點E，交BC于點F．（1）求A，B，C三點的坐標；（2）試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時QF有最大值．【答案】（1）C（0，﹣4）；（2）Q點坐標為（，﹣4）或（1，﹣3）； （3）當m=2時，QF有最大值．【解析】【分析】（1）解方程x2?x4=0得A（3，0），B（4，0），計算自變量為0時的二次函數(shù)值得C點坐標；（2）利用勾股定理計算出AC=5，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為y=x4，則可設Q（m，m4）（0＜m＜4），討論：當CQ=CA時，則m2+（m4+4）2=52，當AQ=AC時，（m+3）2+（m4）2=52；當QA=QC時，（m+3）2+（m4）2=52，然后分別解方程求出m即可得到對應的Q點坐標；（3）過點F作FG⊥PQ于點G，如圖，由△OBC為等腰直角三角形．可判斷△FQG為等腰直角三角形，則FG=QG=FQ，再證明△FGP～△AOC得到，則PG=FQ，所以PQ=FQ，于是得到FQ=PQ，設P（m，m2m4）（0＜m＜4），則Q（m，m4），利用PQ=m2+m得到FQ=（m2+m），然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【詳解】（1）當y=0，x2?x4=0，解得x1=3，x2=4，∴A（3，0），B（4，0），當x=0，y=x2?x4=4，∴C（0，4）；（2）AC=，易得直線BC的解析式為y=x4，設Q（m，m4）（0＜m＜4），當CQ=CA時，m2+（m4+4）2=52，解得m1=，m2=（舍去），此時Q點坐標為（，4）；當AQ=AC時，（m+3）2+（m4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此時Q點坐標為（1，3）；當QA=QC時，（m+3）2+（m4）2=52，解得m=（舍去），綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（，4）或（1，3）；（3）解：過點F作FG⊥PQ于點G，如圖，則FG∥x軸．由B（4，0），C（0，4）得△OBC為等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45 ∴△FQG為等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90176。，∴△FGP～△AOC．∴，即，∴PG=FG=?FQ=FQ，∴PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，∴FQ=PQ，設P（m，m2m4）（0＜m＜4），則Q（m，m4），∴PQ=m4（m2m4）=m2+m，∴FQ=（m2+m）=（m2）2+∵＜0，∴QF有最大值．∴當m=2時，QF有最大值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，會利用相似比表示線段之間的關系；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．15．如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：①當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；②試說明無論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】【分析】（1）把點C、D的坐標代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。（2）根據(jù)拋物線解析式設出點A的坐標，然后求出AO、AM的長，即可得證。（3）①k=0時，求出AM、BN的長，然后代入計算即可得解；②設點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入進行計算即可得解?！驹斀狻拷猓海?）∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得?！鄴佄锞€的解析式為y=x2﹣1。（2）證明：設點A的坐標為（m，m2﹣1），則?！咧本€l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點M的縱坐標為﹣2?！郃M=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1?！郃O=AM。（3）①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴。②k取任何值時，設點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），則。聯(lián)立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根與系數(shù)的關系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=16k2+8，x12?x22=16?！唷！酂o論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)1。
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