【正文】 13．如圖所示拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)，且（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)在直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），對(duì)稱軸為直線；（2）四邊形的周長最小值為；（3）【解析】【分析】（1）OB=OC，則點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x3）=a（x22x3）=ax22ax3a，即可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，即可求解；（3）S△PCB：S△PCA=EB（yCyP）：AE（yCyP）=BE：AE，即可求解．【詳解】（1）∵OB=OC，∴點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x3）=a（x22x3）=ax22ax3a，故3a=3，解得：a=1，故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+2x+3…①；對(duì)稱軸為：直線（2）ACDE的周長=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常數(shù)，故CD+AE最小時(shí)，周長最小，取點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱點(diǎn)C（2，3），則CD=C′D，取點(diǎn)A′（1，1），則A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA=EB（yCyP）：AE（yCyP）=BE：AE，則BE：AE，=3：5或5：3，則AE=或，即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），將點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3，解得：k=6或2，故直線CP的表達(dá)式為：y=2x+3或y=6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）或（8，45）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖象面積計(jì)算、點(diǎn)的對(duì)稱性等，其中（1），通過確定點(diǎn)A′點(diǎn)來求最小值，是本題的難點(diǎn)．14．如圖，已知直線與拋物線： 相交于和點(diǎn)兩點(diǎn).⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；⑵若點(diǎn)是位于直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當(dāng)平行四邊形的面積最大時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn),使拋物線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】⑴；⑵當(dāng) ，□MANB=△= ，此時(shí)；⑶存在. 當(dāng)時(shí)，無論取任何實(shí)數(shù)，均有. 理由見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數(shù)思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時(shí)平行四邊形MANB的面積S及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，分別過點(diǎn)B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，設(shè)拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據(jù)BF=BN，CF=CN兩組等量關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，解方程組即可．【詳解】（1）由題意把點(diǎn)（1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=1，c=3，∴此拋物線C函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+2x+3；（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點(diǎn)（1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，解得，k=1，b=1，∴yAB=x+1，設(shè)點(diǎn)M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK=a2+2a+3（a+1）=（a）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=時(shí)，MK有最大長度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK?AH+MK?（xBxH）=MK?（xBxA）=3=，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，S最大=2S△AMB最大=2=，M（，）；（3）存在點(diǎn)F，∵y=x2+2x+3=（x1）2+4，∴對(duì)稱軸為直線x=1， 當(dāng)y=0時(shí)，x1=1，x2=3，∴拋物線與點(diǎn)x軸正半軸交于點(diǎn)C（3，0），如圖2，分別過點(diǎn)B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y=的距離，設(shè)F（1，a），連接BF，CF，則BF=BN=3=，CF=CH=，由題意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了用函數(shù)思想求極值等，解題關(guān)鍵是能夠判斷出當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，△ABM的面積最大，且此時(shí)線段MK的長度也最大．15．如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知經(jīng)過點(diǎn)的直線的表達(dá)式為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖①，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中，作直線軸，交直線于，交拋物線于，作∥軸，交直線于點(diǎn)，四邊形為矩形．設(shè)矩形的周長為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求為何值時(shí)周長最大；（3）如圖②，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)構(gòu)成的三角形是以為腰的等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖① 圖②【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y=x22x+3，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（1,4）；（2）L=4m212m=4（m+）2+9；當(dāng)m=時(shí)，最大值L=9；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．【解析】試題分析：（1）由直線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)可求得這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式即可求出b、c的值，從而得到解析式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由題意可表示出D、E的坐標(biāo)，從而得到DE的長，由已知條件可得DE=EF，從而可表示出矩形DEFG的周長L，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值；（3）分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，以AB長為半徑畫圓，圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．試題解析：（1）直線y=x+3與x軸相交于A（3,0 ），與y軸相交于B（0,3）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以拋物線的表達(dá)式為y=x22x+3，∵y=x22x+3=（x+1）2+4,所以，頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1,4）． （2）因?yàn)镈在直線y=x+3上，∴D（m,m+3）．因?yàn)镋在拋物線上，∴E（m，m22m+3）．DE=m22m+3（m+3）=m23m．由題意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45176。，∴DE=EF．L=4DE=4m212m．L=4m212m=4（m+）2+9．∵a=40,∴二次函數(shù)有最大值當(dāng)m=時(shí)，最大值L=9．（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．考點(diǎn)：待定系數(shù)法；正方形的判定；二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用；等腰三角形．