20xx年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料：二次函數(shù)壓軸題(含答案)-資料下載頁(yè)
2025-06-28 09:06本頁(yè)面
【正文】 點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)E是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，直線AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；（3）根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)出過(guò)點(diǎn)E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時(shí)，△ACE的面積最大，然后求出此時(shí)與AC平行的直線，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該直線與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45176。求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（4，3），∴，解得，所以，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3；（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)D為AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)時(shí)△BCD的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，所以，直線AC的解析式為y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=2﹣1=1，∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)D（2，1），使△BCD的周長(zhǎng)最??；（3）如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)E與直線AC平行線的直線為y=x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣41（3﹣m）=0，即m=﹣時(shí)，點(diǎn)E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，此時(shí)x=，y=﹣=﹣，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣），設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線與x軸交點(diǎn)為F，則F（，0），∴AF=﹣1=，∵直線AC的解析式為y=x﹣1，∴∠CAB=45176。，∴點(diǎn)F到AC的距離為=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面積=3=，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．14．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱(chēng)軸方程；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說(shuō)明理由；（4）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專(zhuān)題：壓軸題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對(duì)稱(chēng)軸方程；（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）根據(jù)，∠AOC=∠BOC=90176。，可以判定△AOC∽△COB；（4）本問(wèn)為存在型問(wèn)題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類(lèi)討論，逐一計(jì)算，避免漏解．解答：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），∴﹣（﹣2）2+b（﹣2）+4=0，解得：b=，∴拋物線解析式為 y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直線BC的解析式為：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC與△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90176。，∴△AOC∽△COB．（4）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=3，可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，有=，t2=﹣5，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4177。，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．15．如圖，在坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx﹣2的圖象過(guò)C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸所在直線l．當(dāng)l移動(dòng)到何處時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專(zhuān)題：壓軸題．分析：如解答圖所示：（1）首先構(gòu)造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式；（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點(diǎn)E、F，則可求出EF的表達(dá)式；根據(jù)S△CEF=S△ABC，列出方程求出直線l的解析式；（3）首先作出?PACB，然后證明點(diǎn)P在拋物線上即可．解答：解：（1）如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD+∠ACD=90176。．∵∠OBA+∠OAB=90176。，∠OAB+∠CAD=90176。，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB與△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線y=x2+bx﹣2上，∴1=9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直線AC的解析式為：y=x﹣．如答圖1所示，設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)E、F，則EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，EF邊上的高h(yuǎn)=OD﹣x=3﹣x．由題意得：S△CEF=S△ABC，即： EF?h=S△ABC，∴（﹣x）?（3﹣x）=，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合題意，舍去），∴當(dāng)直線l解析式為x=3﹣時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分．（3）存在．如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC交y軸于點(diǎn)W，∵四邊形ACBP是平行四邊形，∴AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行四邊形．過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，∵BC∥AP，∴∠CBO=∠AWO，∵PH∥WO，∴∠APH=∠AWO，∴∠CBG=∠APH，在△PAH和△BCG中，∴△PAH≌△BCG（AAS），∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．拋物線解析式為：y=x2﹣x﹣2，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=1，即點(diǎn)P在拋物線上．∴存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，1）． 33
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