【正文】 AD=DC=2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（﹣1，0），∵BE=2ED，∴點(diǎn)E坐標(biāo)（，1），設(shè)直線CE為y=kx+b，把E、C代入得到：，解得：，∴直線CE為，由，解得或，∴點(diǎn)M坐標(biāo)（，）．（3）①∵△AGQ，△APR是等邊三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60176。，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，∵AQ=AG，∠QAR=∠GAP，AR=AP，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．②如圖3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴當(dāng)Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60176。，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30176。，∵∠QGA=60176。，∴∠QGO=90176。，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（﹣6，），在RT△QCN中，QN=，CN=7，∠QNC=90176。，∴QC==，∵sin∠ACM==，∴AM=，∵△APR是等邊三角形，∴∠APM=60176。，∵PM=PR，cos30176。=，∴AP=，PM=RM=，∴MC==，∴PC=CM﹣PM=，∵，∴CK=，PK=，∴OK=CK﹣CO=，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣，），∴PA+PC+PG的最小值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣，）．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；最值問題；壓軸題．14．如圖1，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C，D．（1）求直線和拋物線的表達(dá)式；（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個單位長度的速度向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，△PDC為直角三角形？請直接寫出所有滿足條件的t的值；（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，在直線EF上是否存在點(diǎn)N，使DM+MN的值最??？若存在，求出其最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y=，BD解析式為y=﹣；（2）t的值為、．（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），. 【解析】分析：（1）利用待定系數(shù)法求解可得；（2）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D分別作DE⊥x軸、DF⊥y軸，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三種情況，利用相似三角形的性質(zhì)逐一求解可得；（3）通過作對稱點(diǎn)，將折線轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間距離，應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短．詳解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得，解得：，∴拋物線解析式為：y=，∵過點(diǎn)B的直線y=kx+，∴代入（1，0），得：k=﹣，∴BD解析式為y=﹣；（2）由得交點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣5，4），如圖1，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，當(dāng)P1D⊥P1C時，△P1DC為直角三角形，則△DEP1∽△P1OC，∴=，即=，解得t=，當(dāng)P2D⊥DC于點(diǎn)D時，△P2DC為直角三角形由△P2DB∽△DEB得=，即=，解得：t=；當(dāng)P3C⊥DC時，△DFC∽△COP3，∴=，即=，解得：t=，∴t的值為、．（3）由已知直線EF解析式為：y=﹣x﹣，在拋物線上取點(diǎn)D的對稱點(diǎn)D′，過點(diǎn)D′作D′N⊥EF于點(diǎn)N，交拋物線對稱軸于點(diǎn)M過點(diǎn)N作NH⊥DD′于點(diǎn)H，此時，DM+MN=D′N最小．則△EOF∽△NHD′設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，﹣），∴=，即=，解得：a=﹣2，則N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），求得直線ND′的解析式為y=x+1，當(dāng)x=﹣時，y=﹣，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），此時，DM+MN的值最小為==2．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)和幾何問題綜合題，應(yīng)用了二次函數(shù)性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想．解題時注意數(shù)形結(jié)合．15．如圖1，四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，沿以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，.（1）當(dāng)時，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為________；（2）當(dāng)與相似時，求的值；（3）當(dāng)時，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，使，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）的中點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）或；（3），.【解析】分析：（1）先根據(jù)時間t=2，和速度可得動點(diǎn)P和Q的路程OP和AQ的長，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得：∠B=∠PAQ=90176。，所以當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：①當(dāng)△PAQ∽△QBC時，②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時，分別列方程可得t的值；（3）根據(jù)t=1求拋物線的解析式，根據(jù)Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x軸，∴KM=KQ，KE⊥MQ，畫出符合條件的點(diǎn)D，證明△KEQ∽△QMH，列比例式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，同理根據(jù)對稱可得另一個點(diǎn)D．詳解：（1）如圖1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），∴OA=3，當(dāng)t=2時，OP=t=2，AQ=2t=4，∴P（2，0），Q（3，4），∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（，），即（，2）；故答案為：（，2）；（2）如圖1，∵四邊形OABC是矩形，∴∠B=∠PAQ=90176。∴當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：①當(dāng)△PAQ∽△QBC時，∴，4t215t+9=0，（t3）（t）=0，t1=3（舍），t2=，②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時，∴，t29t+9=0，t=，∵0≤t≤6，＞7，∴x=不符合題意，舍去，綜上所述，當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時，t的值是或；（3）當(dāng)t=1時，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入拋物線y=x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線：y=x23x+2=（x）2，∴頂點(diǎn)k（，），∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x軸，作拋物線對稱軸，交MQ于E，∴KM=KQ，KE⊥MQ，∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ，如圖2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，設(shè)DQ交y軸于H，∵∠HMQ=∠QEK=90176。，∴△KEQ∽△QMH，∴，∴，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式為：y=x+4，則，x23x+2=x+4，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）；同理，在M的下方，y軸上存在點(diǎn)H，如圖3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE，由對稱性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y=x，則，x23x+2=x，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）；綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（，）或（，）．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，三角形和四邊形的面積，二次函數(shù)的最值問題的應(yīng)用，函數(shù)的交點(diǎn)等知識，本題比較復(fù)雜，注意用t表示出線段長度，再利用相似即可找到線段之間的關(guān)系，代入可解決問題．