【正文】 定義可求得OA，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（3）由平行線的性質(zhì)可知∠MDH=∠BCO=60176。，在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出DM的長(zhǎng)，從而可表示出△DMH的周長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．試題解析： （1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60176。，∵∠ACB=90176。，∴∠ACO=30176。，∴=tan30176。=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+；（3）∵M(jìn)D∥y軸，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60176。，則∠DMH=30176。，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周長(zhǎng)=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴當(dāng)DM有最大值時(shí)，其周長(zhǎng)有最大值，∵點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，∴可設(shè)M（t，﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，DM有最大值，最大值為，此時(shí)DM==，即△DMH周長(zhǎng)的最大值為．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，三角函數(shù)的定義，4方程思想14．已知拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，并與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；（2）在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）取點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），直線l經(jīng)過(guò)E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)G是線段BD的中點(diǎn)．①點(diǎn)G是否在直線l上，請(qǐng)說(shuō)明理由；②在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：（1） D（，﹣4）（2） P（0，）或（0，）（3）詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長(zhǎng)，再分OA和OA是對(duì)應(yīng)邊，OA和OC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OP的長(zhǎng)，從而得解．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗(yàn)證即可．②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，求出OE、OF、HD、HB的長(zhǎng)，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是B，從而判斷出點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)．再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點(diǎn)M．【詳解】解：（1）在中，令y=0，則，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，解得x1=，x2=．∴A（，0），B（，0）．在中，令x=0，則y=．∴C（0，）．∵，∴頂點(diǎn)D（，﹣4）．（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點(diǎn)P．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，①若OA和OA是對(duì)應(yīng)邊，則△AOP∽△AOC，∴．∴y=OC=，此時(shí)點(diǎn)P（0，）．②若OA和OC是對(duì)應(yīng)邊，則△POA∽△AOC，∴，即．解得y=，此時(shí)點(diǎn)P（0，）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，P（0，）或（0，）．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），∴，解得，∴直線l的解析式為．∵B（，0），D（，﹣4），∴，∴線段BD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，﹣2）．當(dāng)x=時(shí)，∴點(diǎn)G在直線l上．②在拋物線上存在符合條件的點(diǎn)M．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，0），∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2．∵，∠OEF=∠HDB，∴△OEF∽△HDB．∴∠OFE=∠HBD．∵∠OEF+∠OFE=90176。，∴∠OEF+∠HBD=90176。．∴∠EGB=180176。﹣（∠OEF+∠HBD）=180176。﹣90176。=90176。，∴直線l是線段BD的垂直平分線．∴點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)B．∴點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)．設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，∵D（，﹣4），E（，0），∴，解得．∴直線DE的解析式為．聯(lián)立，解得，．∴符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，是（，﹣4）或（，）．15．如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：①當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；②試說(shuō)明無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）詳見(jiàn)解析（3）詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出AO、AM的長(zhǎng)，即可得證。（3）①k=0時(shí)，求出AM、BN的長(zhǎng)，然后代入計(jì)算即可得解；②設(shè)點(diǎn)A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解?！驹斀狻拷猓海?）∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得?！鄴佄锞€的解析式為y=x2﹣1。（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m2﹣1），則?！咧本€l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣2?！郃M=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。∴AO=AM。（3）①k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，點(diǎn)A、B在x軸上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴。②k取任何值時(shí)，設(shè)點(diǎn)A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），則。聯(lián)立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=16k2+8，x12?x22=16?！唷！酂o(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)1。