20xx-20xx上海備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)—二次函數(shù)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)-資料下載頁
2025-03-30 22:18本頁面
【正文】 綜上所述：點的坐標(biāo)為，、或，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、 二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、 待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積， 解題的關(guān)鍵是： （1） 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的值； （2） 根據(jù)三角形的面積公式找出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （3） 根據(jù)MN的長度， 找出關(guān)于m的含絕對值符號的一元二次方程 ．14．已知拋物線的頂點為點D，并與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C．（1）求點A、B、C、D的坐標(biāo)；（2）在y軸的正半軸上是否存在點P，使以點P、O、A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）取點E（，0）和點F（0，），直線l經(jīng)過E、F兩點，點G是線段BD的中點．①點G是否在直線l上，請說明理由；②在拋物線上是否存在點M，使點M關(guān)于直線l的對稱點在x軸上？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1） D（，﹣4）（2） P（0，）或（0，）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點坐標(biāo)公式計算即可求出頂點D的坐標(biāo)．（2）根據(jù)點A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長，再分OA和OA是對應(yīng)邊，OA和OC是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OP的長，從而得解．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點公式求出點G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點的坐標(biāo)特征驗證即可．②設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點D關(guān)于直線l的對稱點就是B，從而判斷出點M就是直線DE與拋物線的交點．再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點M．【詳解】解：（1）在中，令y=0，則，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，解得x1=，x2=．∴A（，0），B（，0）．在中，令x=0，則y=．∴C（0，）．∵，∴頂點D（，﹣4）．（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點P．設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，y），∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，①若OA和OA是對應(yīng)邊，則△AOP∽△AOC，∴．∴y=OC=，此時點P（0，）．②若OA和OC是對應(yīng)邊，則△POA∽△AOC，∴，即．解得y=，此時點P（0，）．綜上所述，符合條件的點P有兩個，P（0，）或（0，）．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），∵直線l經(jīng)過點E（，0）和點F（0，），∴，解得，∴直線l的解析式為．∵B（，0），D（，﹣4），∴，∴線段BD的中點G的坐標(biāo)為（，﹣2）．當(dāng)x=時，∴點G在直線l上．②在拋物線上存在符合條件的點M．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H，則點H的坐標(biāo)為（，0），∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2．∵，∠OEF=∠HDB，∴△OEF∽△HDB．∴∠OFE=∠HBD．∵∠OEF+∠OFE=90176。，∴∠OEF+∠HBD=90176。．∴∠EGB=180176。﹣（∠OEF+∠HBD）=180176。﹣90176。=90176。，∴直線l是線段BD的垂直平分線．∴點D關(guān)于直線l的對稱點就是點B．∴點M就是直線DE與拋物線的交點．設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，∵D（，﹣4），E（，0），∴，解得．∴直線DE的解析式為．聯(lián)立，解得，．∴符合條件的點M有兩個，是（，﹣4）或（，）．15．拋物線，若a，b，c滿足b=a+c，則稱拋物線為“恒定”拋物線．（1）求證：“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A；（2）已知“恒定”拋物線的頂點為P，與x軸另一個交點為B，是否存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見試題解析；（2），或．【解析】試題分析：（1）由“恒定”拋物線的定義，即可得出拋物線恒過定點（﹣1，0）；（2）求出拋物線的頂點坐標(biāo)和B的坐標(biāo)，由題意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在兩種情況：①作QM⊥AC于M，則QM=OP=，證明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出點Q的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，把點A坐標(biāo)代入求出a的值即可；②頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合；證明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出點Q坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，把點C坐標(biāo)代入求出a的值即可．試題解析：（1）由“恒定”拋物線，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵拋物線，當(dāng)x=﹣1時，y=0，∴“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”拋物線，當(dāng)y=0時，解得：x=177。1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0時，y=，∴頂點P的坐標(biāo)為（0，），以PA，CQ為邊的平行四邊形，PA、CQ是對邊，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在兩種情況：①如圖1所示：作QM⊥AC于M，則QM=OP=，∠QMC=90176。=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵點A和點C是拋物線上的對稱點，∴AM=MC=1，∴點Q的坐標(biāo)為（﹣2，），設(shè)以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點A（﹣1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：，即；②如圖2所示：頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合，∴點C坐標(biāo)為（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴點Q坐標(biāo)為（0，），設(shè)以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點C（1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：；綜上所述：存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形，拋物線的解析式為：，或．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．壓軸題；3．新定義；4．存在型；5．分類討論．
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