【正文】 最值為，∴當(dāng)時，有最小值，最小值為負(fù)；當(dāng)時，有最大值，最大值為正.∴結(jié)論④為真.解決問題時所用的數(shù)學(xué)方法有方程思想，特殊與一般思想，反證思想，分類思想考點：；；、特殊元素法、反證思想和分類思想的應(yīng)用.14．已知拋物線的頂點為點D，并與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C．（1）求點A、B、C、D的坐標(biāo)；（2）在y軸的正半軸上是否存在點P，使以點P、O、A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）取點E（，0）和點F（0，），直線l經(jīng)過E、F兩點，點G是線段BD的中點．①點G是否在直線l上，請說明理由；②在拋物線上是否存在點M，使點M關(guān)于直線l的對稱點在x軸上？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1） D（，﹣4）（2） P（0，）或（0，）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點坐標(biāo)公式計算即可求出頂點D的坐標(biāo)．（2）根據(jù)點A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長，再分OA和OA是對應(yīng)邊，OA和OC是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OP的長，從而得解．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點公式求出點G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點的坐標(biāo)特征驗證即可．②設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點D關(guān)于直線l的對稱點就是B，從而判斷出點M就是直線DE與拋物線的交點．再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點M．【詳解】解：（1）在中，令y=0，則，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，解得x1=，x2=．∴A（，0），B（，0）．在中，令x=0，則y=．∴C（0，）．∵，∴頂點D（，﹣4）．（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點P．設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，y），∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，①若OA和OA是對應(yīng)邊，則△AOP∽△AOC，∴．∴y=OC=，此時點P（0，）．②若OA和OC是對應(yīng)邊，則△POA∽△AOC，∴，即．解得y=，此時點P（0，）．綜上所述，符合條件的點P有兩個，P（0，）或（0，）．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），∵直線l經(jīng)過點E（，0）和點F（0，），∴，解得，∴直線l的解析式為．∵B（，0），D（，﹣4），∴，∴線段BD的中點G的坐標(biāo)為（，﹣2）．當(dāng)x=時，∴點G在直線l上．②在拋物線上存在符合條件的點M．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H，則點H的坐標(biāo)為（，0），∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2．∵，∠OEF=∠HDB，∴△OEF∽△HDB．∴∠OFE=∠HBD．∵∠OEF+∠OFE=90176。，∴∠OEF+∠HBD=90176。．∴∠EGB=180176。﹣（∠OEF+∠HBD）=180176。﹣90176。=90176。，∴直線l是線段BD的垂直平分線．∴點D關(guān)于直線l的對稱點就是點B．∴點M就是直線DE與拋物線的交點．設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，∵D（，﹣4），E（，0），∴，解得．∴直線DE的解析式為．聯(lián)立，解得，．∴符合條件的點M有兩個，是（，﹣4）或（，）．15．如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P，連接PB，得△PCB≌△BOA（O為坐標(biāo)原點）．若拋物線與x軸正半軸交點為點F，設(shè)M是點C，F(xiàn)間拋物線上的一點（包括端點），其橫坐標(biāo)為m．（1）直接寫出點P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）當(dāng)m為何值時，△MAB面積S取得最小值和最大值？請說明理由；（3）求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標(biāo)．【答案】（1）點P的坐標(biāo)為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)m=0時，S取最小值，最小值為；當(dāng)m=3時，S取最大值，最大值為5．（3）滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標(biāo)為（0，4）或（，）．【解析】【分析】（1）代入y=c可求出點C、P的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點A、B的坐標(biāo)，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，進(jìn)而可得出點P的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點F的坐標(biāo)，過點M作ME∥y軸，交直線AB于點E，由點M的橫坐標(biāo)可得出點M、E的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出ME的長度，再利用三角形的面積公式可找出S=﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及最小值；（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)點M在線段OP上方時，由CP∥x軸利用平行線的性質(zhì)可得出：當(dāng)點C、M重合時，∠MPO=∠POA，由此可找出點M的坐標(biāo)；②當(dāng)點M在線段OP下方時，在x正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時∠DPO=∠POA，設(shè)點D的坐標(biāo)為（n，0），則DO=n，DP=，由DO=DP可求出n的值，進(jìn)而可得出點D的坐標(biāo)，由點P、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線PD的解析式，再聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，通過解方程組求出點M的坐標(biāo)．綜上此題得解．【詳解】（1）當(dāng)y=c時，有c=﹣x2+bx+c，解得：x1=0，x2=b，∴點C的坐標(biāo)為（0，c），點P的坐標(biāo)為（b，c），∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為（0，3），∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，∵△PCB≌△BOA，∴BC=OA，CP=OB，∴b=3，c=4，∴點P的坐標(biāo)為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)y=0時，有﹣x2+3x+4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴點F的坐標(biāo)為（4，0），過點M作ME∥y軸，交直線AB于點E，如圖1所示，∵點M的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤4），∴點M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4），點E的坐標(biāo)為（m，﹣3m+3），∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，∴S=OA?ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，∵﹣＜0，0≤m≤4，∴當(dāng)m=0時，S取最小值，最小值為；當(dāng)m=3時，S取最大值，最大值為5；（3）①當(dāng)點M在線段OP上方時，∵CP∥x軸，∴當(dāng)點C、M重合時，∠MPO=∠POA，∴點M的坐標(biāo)為（0，4）；②當(dāng)點M在線段OP下方時，在x正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時∠DPO=∠POA，設(shè)點D的坐標(biāo)為（n，0），則DO=n，DP=，∴n2=（n﹣3）2+16，解得：n=，∴點D的坐標(biāo)為（，0），設(shè)直線PD的解析式為y=kx+a（k≠0），將P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，解得：，∴直線PD的解析式為y=﹣x+，聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，得：，解得：，．∴點M的坐標(biāo)為（，）．綜上所述：滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標(biāo)為（0，4）或（，）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次（二次）函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、全等三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用全等三角形的性質(zhì)求出b、c的值；（2）利用三角形的面積公式找出S=﹣（m﹣3）2+5；（3）分點M在線段OP上方和點M在線段OP下方兩種情況求出點M的坐標(biāo)．