【正文】 解得a=.∴拋物線的解析式為y=.（2）存在t，使得△ADC與△PQA相似．理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，則tan∠ACO=，∵tan∠OAD=，∴∠OAD=∠ACO，∵直線l的解析式為y=，∴D（0，﹣），∵點C（0，﹣），∴CD=，由AC2=OC2+OA2，得AC=，在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC與△PQA相似，只需或，則有或，解得t1=，t2=，∵t1＜，t2＜，∴存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②存在t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大，理由：作PF⊥AQ于點F，CN⊥AQ于N，在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=，在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，在△ADC中，由S△ADC= ，∴CN=，∴S△AQP+S△AQC= ，∴當t=時，△APQ與△CAQ的面積之和最大.點睛：本題為代數(shù)、幾何綜合題，考查待定系數(shù)法、相似三角形判定、二次函數(shù)最值，應用了分類討論和數(shù)形結合思想．13．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）m=﹣1或m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；（3）點Q的坐標為（3，2）或（﹣1，0）時，以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似．【解析】分析：（1）待定系數(shù)法求解可得；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為y=x2，則Q（m，m2+m+2）、M（m，m2），由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據(jù)此列出關于m的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90176。，利用△DOB∽△MBQ得，再證△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此時m的值；②∠BQM=90176。，此時點Q與點A重合，△BOD∽△BQM′，易得點Q坐標．詳解：（1）由拋物線過點A（1，0）、B（4，0）可設解析式為y=a（x+1）（x4），將點C（0，2）代入，得：4a=2，解得：a=，則拋物線解析式為y=（x+1）（x4）=x2+x+2；（2）由題意知點D坐標為（0，2），設直線BD解析式為y=kx+b，將B（4，0）、D（0，2）代入，得：，解得：，∴直線BD解析式為y=x2，∵QM⊥x軸，P（m，0），∴Q（m，m2+m+2）、M（m，m2），則QM=m2+m+2（m2）=m2+m+4，∵F（0，）、D（0，2），∴DF=，∵QM∥DF，∴當m2+m+4=時，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=1（舍）或m=3，即m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；（3）如圖所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下兩種情況：①當∠DOB=∠MBQ=90176。時，△DOB∽△MBQ，則，∵∠MBQ=90176。，∴∠MBP+∠PBQ=90176。，∵∠MPB=∠BPQ=90176。，∴∠MBP+∠BMP=90176。，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴，即，解得：m1=m2=4，當m=4時，點P、Q、M均與點B重合，不能構成三角形，舍去，∴m=3，點Q的坐標為（3，2）；②當∠BQM=90176。時，此時點Q與點A重合，△BOD∽△BQM′，此時m=1，點Q的坐標為（1，0）；綜上，點Q的坐標為（3，2）或（1，0）時，以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似．點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及分類討論思想的運用．14．如圖，直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，∠ACB=90176。，拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A，B兩點．（1）求A、B兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MH⊥BC于點H，作MD∥y軸交BC于點D，求△DMH周長的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標，在Rt△BOC中由三角函數(shù)定義可求得∠OCB=60176。，則在Rt△AOC中可得∠ACO=30176。，利用三角函數(shù)的定義可求得OA，則可求得A點坐標；（2）由A、B兩點坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（3）由平行線的性質(zhì)可知∠MDH=∠BCO=60176。，在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關系，可設出M點的坐標，則可表示出DM的長，從而可表示出△DMH的周長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．試題解析： （1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60176。，∵∠ACB=90176。，∴∠ACO=30176。，∴=tan30176。=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A，B兩點，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y軸，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60176。，則∠DMH=30176。，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴當DM有最大值時，其周長有最大值，∵點M是直線BC上方拋物線上的一點，∴可設M（t，﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴當t=時，DM有最大值，最大值為，此時DM==，即△DMH周長的最大值為．考點：二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法，三角函數(shù)的定義，4方程思想15．復習課中，教師給出關于x的函數(shù)（k是實數(shù)）.教師：請獨立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關的結論（性質(zhì)）寫到黑板上.學生思考后，又補充一些結論，并從中選擇如下四條：①存在函數(shù)，其圖像經(jīng)過（1,0）點；②函數(shù)圖像與坐標軸總有三個不同的交點；③當時，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小；④若函數(shù)有最大值，則最大值必為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值必為負數(shù)；教師：請你分別判斷四條結論的真假，并給出理由，最后簡單寫出解決問題時所用的數(shù)學方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的數(shù)學方法見解析.【解析】試題分析：根據(jù)方程思想，特殊與一般思想，反證思想，分類思想對各結論進行判斷.試題解析：①真，②假，③假，④：①將（1,0）代入，得，解得.∴存在函數(shù)，其圖像經(jīng)過（1,0）點.∴結論①為真.②舉反例如，當時，函數(shù)的圖象與坐標軸只有兩個不同的交點.∴結論②為假.③∵當時，二次函數(shù)（k是實數(shù)）的對稱軸為，∴可舉反例如，當時，二次函數(shù)為，當時，y隨x的增大而減??；當時，y隨x的增大而增大.∴結論③為假.④∵當時，二次函數(shù)的最值為，∴當時，有最小值，最小值為負；當時，有最大值，最大值為正.∴結論④為真.解決問題時所用的數(shù)學方法有方程思想，特殊與一般思想，反證思想，分類思想考點：；；、特殊元素法、反證思想和分類思想的應用.