【正文】 =∠APQ+∠PAQ=90176。，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，t的值為1或．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題13．如圖甲，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C，P，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時(shí)，△CBE的面積最大．【解析】試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，可設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，表示出MC、MP和PC的長(zhǎng)，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)E作EF⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，可設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出EF的長(zhǎng)，進(jìn)一步可表示出△CBE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線對(duì)稱軸為x=2，P（2，﹣1），設(shè)M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM為等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，①當(dāng)MC=MP時(shí)，則有=|t+1|，解得t=，此時(shí)M（2，）；②當(dāng)MC=PC時(shí)，則有=2，解得t=﹣1（與P點(diǎn)重合，舍去）或t=7，此時(shí)M（2，7）；③當(dāng)MP=PC時(shí)，則有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時(shí)M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如圖，過(guò)E作EF⊥x軸，交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，設(shè)E（x，x2﹣4x+3），則F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時(shí)，△CBE的面積最大，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時(shí)，△CBE的面積最大．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．14．已知拋物線的圖象如圖所示：（1）將該拋物線向上平移2個(gè)單位，分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則平移后的解析式為　　．（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、．【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，可得新的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A，B，C的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理及逆定理，可得答案；（3）根據(jù)等腰三角形的定義，分三種情況，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）將該拋物線向上平移2個(gè)單位，得：yx2x+2．故答案為yx2x+2；（2）當(dāng)y=0時(shí)，x2x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即C（0，2）．AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）yx2x+2的對(duì)稱軸是x，設(shè)P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=：①當(dāng)AP=AC時(shí)，AP2=AC2，n2=5，方程無(wú)解；②當(dāng)AP=CP時(shí)，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；③當(dāng)AC=CP時(shí)，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．綜上所述：在拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)（，0），（，2），（，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題．解（1）的關(guān)鍵是二次函數(shù)圖象的平移，解（2）的關(guān)鍵是利用勾股定理及逆定理；解（3）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于n的方程，要分類討論，以防遺漏．15．如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的表達(dá)式為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖①，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中，作直線軸，交直線于，交拋物線于，作∥軸，交直線于點(diǎn)，四邊形為矩形．設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求為何值時(shí)周長(zhǎng)最大；（3）如圖②，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)構(gòu)成的三角形是以為腰的等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖① 圖②【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y=x22x+3，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（1,4）；（2）L=4m212m=4（m+）2+9；當(dāng)m=時(shí)，最大值L=9；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．【解析】試題分析：（1）由直線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)可求得這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式即可求出b、c的值，從而得到解析式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由題意可表示出D、E的坐標(biāo)，從而得到DE的長(zhǎng)，由已知條件可得DE=EF，從而可表示出矩形DEFG的周長(zhǎng)L，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值；（3）分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．試題解析：（1）直線y=x+3與x軸相交于A（3,0 ），與y軸相交于B（0,3）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以拋物線的表達(dá)式為y=x22x+3，∵y=x22x+3=（x+1）2+4,所以，頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1,4）． （2）因?yàn)镈在直線y=x+3上，∴D（m,m+3）．因?yàn)镋在拋物線上，∴E（m，m22m+3）．DE=m22m+3（m+3）=m23m．由題意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45176。，∴DE=EF．L=4DE=4m212m．L=4m212m=4（m+）2+9．∵a=40,∴二次函數(shù)有最大值當(dāng)m=時(shí)，最大值L=9．（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．考點(diǎn)：待定系數(shù)法；正方形的判定；二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用；等腰三角形．