【正文】 ．【詳解】解：①∵點B、C在直線為上，∴B（﹣n，0）、C（0，n），∵點A（1，0）在拋物線上，∴，∴，∴拋物線解析式：；②由題意，得，，由①知，∴點P到BC的高h(yuǎn)為，∴，當(dāng)時，△PBE的面積最大，最大值為；③由①知，BC所在直線為：，∴點A到直線BC的距離，過點N作x軸的垂線交直線BC于點P，交x軸于點H．設(shè)，則、易證△PQN為等腰直角三角形，即，∴，Ⅰ．，∴解得，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴；Ⅱ．，∴解得，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，Ⅲ．，∴，解得，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，綜上所述，若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點N的橫坐標(biāo)為：4或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，已知直線與拋物線： 相交于和點兩點.⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；⑵若點是位于直線上方拋物線上的一動點，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當(dāng)平行四邊形的面積最大時，求此時四邊形的面積及點的坐標(biāo)；⑶在拋物線的對稱軸上是否存在定點,使拋物線上任意一點到點的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】⑴；⑵當(dāng) ，□MANB=△= ，此時；⑶存在. 當(dāng)時，無論取任何實數(shù)，均有. 理由見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，求出直線AB的解析式，設(shè)點M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數(shù)思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標(biāo)；（3）如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，設(shè)拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據(jù)BF=BN，CF=CN兩組等量關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，解方程組即可．【詳解】（1）由題意把點（1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=1，c=3，∴此拋物線C函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+2x+3；（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點（1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，解得，k=1，b=1，∴yAB=x+1，設(shè)點M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK=a2+2a+3（a+1）=（a）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=時，MK有最大長度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK?AH+MK?（xBxH）=MK?（xBxA）=3=，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時，S最大=2S△AMB最大=2=，M（，）；（3）存在點F，∵y=x2+2x+3=（x1）2+4，∴對稱軸為直線x=1， 當(dāng)y=0時，x1=1，x2=3，∴拋物線與點x軸正半軸交于點C（3，0），如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，設(shè)F（1，a），連接BF，CF，則BF=BN=3=，CF=CH=，由題意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了用函數(shù)思想求極值等，解題關(guān)鍵是能夠判斷出當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時，△ABM的面積最大，且此時線段MK的長度也最大．15．已知拋物線的頂點為點D，并與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C．（1）求點A、B、C、D的坐標(biāo)；（2）在y軸的正半軸上是否存在點P，使以點P、O、A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）取點E（，0）和點F（0，），直線l經(jīng)過E、F兩點，點G是線段BD的中點．①點G是否在直線l上，請說明理由；②在拋物線上是否存在點M，使點M關(guān)于直線l的對稱點在x軸上？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1） D（，﹣4）（2） P（0，）或（0，）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點坐標(biāo)公式計算即可求出頂點D的坐標(biāo)．（2）根據(jù)點A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長，再分OA和OA是對應(yīng)邊，OA和OC是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OP的長，從而得解．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點公式求出點G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點的坐標(biāo)特征驗證即可．②設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點D關(guān)于直線l的對稱點就是B，從而判斷出點M就是直線DE與拋物線的交點．再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點M．【詳解】解：（1）在中，令y=0，則，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，解得x1=，x2=．∴A（，0），B（，0）．在中，令x=0，則y=．∴C（0，）．∵，∴頂點D（，﹣4）．（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點P．設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，y），∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，①若OA和OA是對應(yīng)邊，則△AOP∽△AOC，∴．∴y=OC=，此時點P（0，）．②若OA和OC是對應(yīng)邊，則△POA∽△AOC，∴，即．解得y=，此時點P（0，）．綜上所述，符合條件的點P有兩個，P（0，）或（0，）．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），∵直線l經(jīng)過點E（，0）和點F（0，），∴，解得，∴直線l的解析式為．∵B（，0），D（，﹣4），∴，∴線段BD的中點G的坐標(biāo)為（，﹣2）．當(dāng)x=時，∴點G在直線l上．②在拋物線上存在符合條件的點M．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H，則點H的坐標(biāo)為（，0），∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2．∵，∠OEF=∠HDB，∴△OEF∽△HDB．∴∠OFE=∠HBD．∵∠OEF+∠OFE=90176。，∴∠OEF+∠HBD=90176。．∴∠EGB=180176。﹣（∠OEF+∠HBD）=180176。﹣90176。=90176。，∴直線l是線段BD的垂直平分線．∴點D關(guān)于直線l的對稱點就是點B．∴點M就是直線DE與拋物線的交點．設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，∵D（，﹣4），E（，0），∴，解得．∴直線DE的解析式為．聯(lián)立，解得，．∴符合條件的點M有兩個，是（，﹣4）或（，）．