【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數學壓軸題專題二次函數的經典綜合題一、二次函數1．已知二次函數的最大值為4，且該拋物線與軸的交點為，頂點為.（1）求該二次函數的解析式及點，的坐標；（2）點是軸上的動點，①求的最大值及對應的點的坐標；②設是軸上的動點，若線段與函數的圖像只有一個公共點，求的取值范圍.【答案】（1），點坐標為，頂點的坐標為；（2）①最大值是，的坐標為，②的取值范圍為或或.【解析】【分析】（1）先利用對稱軸公式x=，計算對稱軸，即頂點坐標為（1，4），再將兩點代入列二元一次方程組求出解析式；（2）根據三角形的三邊關系：可知P、C、D三點共線時|PCPD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點坐標，就是此時點P的坐標；（3）先把函數中的絕對值化去，可知，此函數是兩個二次函數的一部分，分三種情況進行計算：①當線段PQ過點（0，3），即點Q與點C重合時，兩圖象有一個公共點，當線段PQ過點（3，0），即點P與點（3，0）重合時，兩函數有兩個公共點，寫出t的取值；②線段PQ與當函數y=a|x|22a|x|+c（x≥0）時有一個公共點時，求t的值；③當線段PQ過點（3，0），即點P與點（3，0）重合時，線段PQ與當函數y=a|x|22a|x|+c（x＜0）時也有一個公共點，則當t≤3時，都滿足條件；綜合以上結論，得出t的取值．【詳解】解：（1）∵，∴的對稱軸為.∵人最大值為4，∴拋物線過點.得，解得.∴該二次函數的解析式為.點坐標為，頂點的坐標為.（2）①∵，∴當三點在一條直線上時，取得最大值.連接并延長交軸于點，.∴的最大值是.易得直線的方程為.把代入，得.∴此時對應的點的坐標為.②的解析式可化為設線段所在直線的方程為，將，的坐標代入，可得線段所在直線的方程為.（1）當線段過點，即點與點重合時，線段與函數的圖像只有一個公共點，此時.∴當時，線段與函數的圖像只有一個公共點.（2）當線段過點，即點與點重合時，線段與函數的圖像只有一個公共點，此時.當線段過點，即點與點重合時，此時線段與函數的圖像有兩個公共點.所以當時，線段與函數的圖像只有一個公共點.（3）將帶入，并整理，得..令，解得.∴當時，線段與函數的圖像只有一個公共點.綜上所述，的取值范圍為或或.【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用，先利用待定系數法求解析式，同時把最大值與三角形的三邊關系聯(lián)系在一起；同時對于二次函數利用動點求取值問題，從特殊點入手，把函數分成幾部分考慮，按自變量從大到小的順序或從小到大的順序求解．2．如圖1，對稱軸為直線x=1的拋物線y=x2+bx+c，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），且點A坐標為(1，0).又P是拋物線上位于第一象限的點，直線AP與y軸交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，點C與坐標原點O關于該對稱軸成軸對稱.（1）求點 B 的坐標和拋物線的表達式；（2）當 AE：EP=1：4 時，求點 E 的坐標；（3）如圖 2，在（2）的條件下，將線段 OC 繞點 O 逆時針旋轉得到 OC ′，旋轉角為 α(0176。＜α＜90176。)，連接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值． 【答案】（1）B（3，0）；拋物線的表達式為：y=x2x；（2）E(1，6)；（3）C′B＋C′D的最小值為．【解析】試題分析：（1）由拋物線的對稱軸和過點A ，即可得到拋物線的解析式，令y=0，解方程可得B的坐標；（2）過點P作PF⊥x軸，垂足為F．由平行線分線段弄成比例定理可得===，從而求出E的坐標；（3）由E（1，6）、A（1，0）可得AP的函數表達式為y=3x+3，得到D（0，3）．如圖，取點M（0，），連接MC′、BM．則可求出OM，BM的長，得到△MOC′∽△C′OD．進而得到MC′＝C′D，由C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到結論． 試題解析：解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，∴=1，∴b=1．∵拋物線過點A（1，0），∴b+c=0，解得：c=，即：拋物線的表達式為：y=x2x． 令y=0，則x2x=0，解得：x1=1，x2=3，即B（3，0）； （2）過點P作PF⊥x軸，垂足為F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴===．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．當x=9時，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（1，0）可得AP的函數表達式為y=3x+3，則D（0，3）．∵原點O與點C關于該對稱軸成軸對稱，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如圖，取點M（0，），連接MC′、BM．則OM＝，BM＝＝．∵，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴，∴MC′＝C′D，∴C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BM＝，∴C′B＋C′D的最小值為． 點睛：本題是二次函數的綜合題，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式，相似三角形的性質和判定，求得AF的長是解答問題（2）的關鍵；和差倍分的轉化是解答問題（3）的關鍵．3．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+n與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過C、B兩點，交x軸于另一點A，連接AC，且tan∠CAO=3．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是射線CB上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為H，交拋物線于Q，設P點橫坐標為t，線段PQ的長為d，求出d與t之間的函數關系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍；(3)在(2)的條件下，當點P在線段BC上時，設PH=e，已知d，e是以y為未知數的一元二次方程：y2－(m+3)y+(5m2－2m+13)=0 (m為常數)的兩個實數根，點M在拋物線上，連接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及點M的坐標．【答案】(1) y=x2+2x+3；(2)；（3）t=1，(1+，2)和(1－，2).【解析】【分析】（1）當x=0時代入拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐標，就可以得出直線的解析式，就可以求出B的坐標，在直角三角形AOC中，由三角形函數值就可以求出OA的值，得出A的坐標，再由待定系數法建立二元一次方程組求出其解就可以得出結論；（2）分兩種情況討論，當點P在線段CB上時，和如圖3點P在射線BN上時，就有P點的坐標為（t，t+3），Q點的坐標為（t，t2+2t+3），就可以得出d與t之間的函數關系式而得出結論；（3）根據根的判別式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延長MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，如圖2，延長MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，就可以得出四邊形LQMH是平行四邊形，進而得出四邊形LQMH是菱形，由菱形的性質就可以求出結論．【詳解】（1）當x=0，則y=x+n=0+n=n，y=ax2+bx+3=3，∴OC=3=n．當y=0，∴x+3=0，x=3=OB，∴B（3，0）．在△AOC中，∠AOC＝90176。，tan∠CAO=，∴OA=1，∴