【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的綜合題試題附答案一、二次函數(shù)1．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2+（2k﹣1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使△AOB的面積等于6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)B，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB=90176。？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4）。（3）存在；理由見解析；【解析】【分析】（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值，從而求得拋物線的解析式。（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了OA的長(zhǎng)，根據(jù)△OAB的面積可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將符合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)B點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右邊來判斷得出的B點(diǎn)是否符合要求即可。（3）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．求△POB的面積時(shí)，求出OB，OP的長(zhǎng)度即可求出△BOP的面積?！驹斀狻拷猓海?）∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1?！噙@個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x。（2）如圖，過點(diǎn)B做BD⊥x軸于點(diǎn)D，令x2﹣3x=0，解得：x=0或3?！郃O=3。∵△AOB的面積等于6，∴AO?BD=6?！郆D=4。∵點(diǎn)B在函數(shù)y=x2﹣3x的圖象上，∴4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（ ，﹣），＜4，∴x軸下方不存在B點(diǎn)?！帱c(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4）。（3）存在?！唿c(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4），∴∠BOD=45176。若∠POB=90176。，則∠POD=45176。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣3x）?！?。若，解得x=4 或x=0（舍去）。此時(shí)不存在點(diǎn)P（與點(diǎn)B重合）。若，解得x=2 或x=0（舍去）。當(dāng)x=2時(shí)，x2﹣3x=﹣2。∴點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（2，﹣2）?！??！摺螾OB=90176。，∴△POB的面積為：PO?BO==8。2．如圖1，對(duì)稱軸為直線x=1的拋物線y=x2+bx+c，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，0).又P是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，直線AP與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于該對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)和拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng) AE：EP=1：4 時(shí)，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；（3）如圖 2，在（2）的條件下，將線段 OC 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 OC ′，旋轉(zhuǎn)角為 α(0176。＜α＜90176。)，連接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值． 【答案】（1）B（3，0）；拋物線的表達(dá)式為：y=x2x；（2）E(1，6)；（3）C′B＋C′D的最小值為．【解析】試題分析：（1）由拋物線的對(duì)稱軸和過點(diǎn)A ，即可得到拋物線的解析式，令y=0，解方程可得B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F．由平行線分線段弄成比例定理可得===，從而求出E的坐標(biāo)；（3）由E（1，6）、A（1，0）可得AP的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+3，得到D（0，3）．如圖，取點(diǎn)M（0，），連接MC′、BM．則可求出OM，BM的長(zhǎng)，得到△MOC′∽△C′OD．進(jìn)而得到MC′＝C′D，由C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到結(jié)論． 試題解析：解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，∴=1，∴b=1．∵拋物線過點(diǎn)A（1，0），∴b+c=0，解得：c=，即：拋物線的表達(dá)式為：y=x2x． 令y=0，則x2x=0，解得：x1=1，x2=3，即B（3，0）； （2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴===．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．當(dāng)x=9時(shí)，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（1，0）可得AP的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+3，則D（0，3）．∵原點(diǎn)O與點(diǎn)C關(guān)于該對(duì)稱軸成軸對(duì)稱，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如圖，取點(diǎn)M（0，），連接MC′、BM．則OM＝，BM＝＝．∵，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴，∴MC′＝C′D，∴C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BM＝，∴C′B＋C′D的最小值為． 點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)的綜合題，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，求得AF的長(zhǎng)是解答問題（2）的關(guān)鍵；和差倍分的轉(zhuǎn)化是解答問題（3）的關(guān)鍵．3．如圖，拋物線y＝x2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MA的值最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x﹣2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，證明見解析；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）．【解析】【分析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式即可求得答案；（2）由函數(shù)解析式可以求得其與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得AB、BC、AC的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理可得三角形的形狀；（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x對(duì)稱，求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，根據(jù)軸對(duì)稱性，可得MA＝MB，兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MB的值最?。畡tBC與直線x交點(diǎn)即為M點(diǎn)，利用得到系數(shù)法求出直線BC的解析式，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線ybx﹣2上，∴b（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴拋物線的解析式為yx﹣2．yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （）．（2）當(dāng)x＝0時(shí)y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （），∴拋物線的對(duì)稱軸為x．∵拋物線yx2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x對(duì)稱．∵A（﹣1，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），當(dāng)x