(人教版)20xx年中考數(shù)學(xué)：拓展題型-二次函數(shù)綜合題((有答案)-資料下載頁
2025-06-28 07:04本頁面
【正文】 A 運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒) ．當(dāng) t(秒) 為何值時(shí)，存在 △QMN 為等腰直角三角形？第 3 題圖【答案】1．解：(1)依題意得 ，解得 ，1203bacc????????? 123abc??????∴拋物線解析式為 y＝－ x2－2x＋3，∵對(duì)稱軸為 x＝－1，拋物線經(jīng)過 A(1，0)，∴B(－3，0)，把 B(－3， 0)，C(0，3)分別代入 y＝mx＋n 得，解得 ，0mn?????? 13mn????∴直線 BC 的解析式為 y＝x ＋3；……………………………(3 分)(2)設(shè)直線 BC 與對(duì)稱軸 x＝－1 的交點(diǎn)為 M，如解圖，連接 AM，第 1 題解圖∵M(jìn)A＝MB，∴MA＋MC ＝MB ＋MC ＝BC，∴使 MA＋ MC 最小的點(diǎn) M 應(yīng)為直線 BC 與對(duì)稱軸 x＝－1 的交點(diǎn)，把 x＝－1 代入直線 y＝ x＋3，得 y＝2，∴M (－ 1， 2)；…………………………………………………(6 分)(3)設(shè) P(－1 ，t) ，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC 2＝18，PB2＝(－1＋3) 2＋t 2＝4＋t 2，PC2＝(－1) 2＋(t－3) 2＝ t2－6t＋10，①若 B 為直角頂點(diǎn)，則 BC2＋PB 2＝PC 2，即 18＋4＋t 2＝t 2－6t＋10，解得 t1＝－2；②若 C 為直角頂點(diǎn)，則 BC2＋PC 2＝PB 2，即 18＋t 2－6t＋10＝4＋t 2，解得 t2＝4；③若 P 為直角頂點(diǎn)，則 PB2＋PC 2＝BC 2，即 4＋t 2＋t 2－6t＋10＝18，解得 t3＝ ，t 4＝ .3＋ 172 3－ 172綜上所述，滿足條件的點(diǎn) P 共有四個(gè)，分別為：P 1(－1，－2) ，P2(－1，4)，P 3(－1， )，P 4(－1， )．………(10 分)3＋ 172 3－ 1722．(1) 解： 當(dāng) x＝0 時(shí)，y＝ax 2＋bx －3＝－3，∴C (0，－3)，即 OC＝3，∵OB ＝OC＝3OA，∴OB ＝3，OA ＝1，∴A(－1，0)，B(3 ，0)，將 A(－1， 0)，B(3 ，0)代入 y＝ax 2＋bx－3 得：，解得 ，309ab?????? 12ab?????∴拋物線的解析式為 y＝x 2－2x－3；…………………………(4 分)(2)證明： 由拋物線解析式 y＝x 2－2x－3＝(x －1) 2－4 可得：E(1，－4)，當(dāng) x＝0 時(shí)， y＝－ x＋1＝1，13∴D(0，1)，即 OD＝1，∴ ，220BODB???同理可得 CE＝ ，BE＝2 ，BC＝3 ，2 5 2∴在△DBO 和△EBC 中， ∵ ，2BBEC??∴△DBO∽△EBC ；…………………………………………(9 分)(3)解： 存在，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1 ，－1)，(1，－3＋ )，17(1，－3－ )，(1 ， )或(1 ，－ )．…………………(13 分)17 14 14【解法提示】如解圖，過點(diǎn) P 作 PG⊥y 軸于點(diǎn) G，連接 PC，PB，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為 M，設(shè)點(diǎn) P(1，a)，第 2 題解圖則 PG＝1，GC＝|a＋3| ，PM ＝| a|，PC 2＝1＋( a＋3)2，PB 2＝a 2＋4，BC 2＝18，①當(dāng) P 是等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，PC 2＝PB 2，即 1＋(a＋3) 2＝4＋a 2，解得 a＝－1，∴P 1(1，－ 1)；②當(dāng) C 是等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，PC 2＝CB 2，即 1＋(a＋3) 2＝18，解得 a1＝－3＋ ，a 2＝－3－ ，17 17∴P 2(1，－ 3＋ )，P 3(1，－3－ )；17 17③當(dāng) B 是等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，PB 2＝CB 2，即 4＋a 2＝18，解得 a1＝ ，14a2＝－ ，14∴P 4(1， )，P 5(1，－ )．14 14綜上所述，存在點(diǎn) P，使得△ PBC 是等腰三角形，點(diǎn) P 的坐標(biāo)分別為：P1(1，－1)，P 2(1，－3＋ )，P 3(1，－3－ )，P 4(1， )，P 5(1，－ )．17 17 14 143．解：(1)B(4，0) ，C(0，3)，拋物線的解析式為 y＝－ x2＋ x＋3，D(1， )；…………(4 分)38 34 278【解法提示】令 x＝0 ，代入 y＝－ x＋3，得 y＝3，34∴C (0，3)，令 y＝0，代入 y＝－ x＋3，得－ x＋3＝0，解得 x＝4，34 34∴B(4，0)，設(shè)拋物線的解析式為 y＝a(x ＋2)(x－4) ，把 C(0，3)代入 y＝a(x＋2)(x －4)，∴a＝－ ，38∴拋物線的解析式為 y＝－ (x＋2)(x－4)38＝－ x2＋ x＋338 34＝－ (x－1) 2＋ ，38 278∴頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(1， )．278(2)如解圖 ① ，第 3 題解圖①∵四邊形 DEFP 是平行四邊形，∴DP ∥BC，設(shè)直線 DP 的解析式為 y＝mx ＋n，∵直線 BC 的解析式為 y＝－ x＋3，34∴m＝－ ，34∴y＝－ x＋n，34把 D(1， )代入 y＝－ x＋n，278 34∴n＝ ，338∴直線 DP 的解析式為 y＝－ x＋ ，34 338聯(lián)立 ，{y＝ － 38x2＋ 34x＋ 3y＝ － 34x＋ 338 )解得 x＝3 或 x＝1( 舍去)，∴把 x＝3 代入 y＝－ x＋ ，34 338得 y＝ ，158∴P 的坐標(biāo)為(3 ， )；………………………………………(7 分)158(3)由題意可知：0≤t≤ 6，設(shè)直線 AC 的解析式為 y＝m 1x＋n 1，把 A(－2， 0)和 C(0，3) 代入 y＝m 1x＋n 1，得 ，解得 ，{－ 2m1＋ n1＝ 0n1＝ 3 ) {m1＝ 32n1＝ 3)∴直線 AC 的解析式為 y＝ x＋3，32由題意知：QB＝t，如解圖②，當(dāng)∠NMQ＝90176。時(shí)，∴OQ＝4－t，第 3 題解圖②把 x＝4－t 代入 y＝－ x＋3，34∴y＝ t，∴ M(4－t， t)，34 34∵M(jìn)N∥x 軸，∴N 的縱坐標(biāo)為 t，34把 y＝ t 代入 y＝ x＋3，34 32∴x＝ t－2 ，12∴N ( t－2， t)，12 34∴MN＝(4－t) －( －2)＝6－ t，t2 32∵M(jìn)N∥AB ，∠NMQ＝ 90176。，∴MQ＝ t，34當(dāng) MN＝MQ 時(shí)，∴6－ t＝ t，32 34∴t＝ ，83此時(shí) QB＝ ，符合題意；……………………………………(9 分)83如解圖③，當(dāng)∠MNQ＝90176。時(shí)，第 3 題解圖③∵QB ＝t，∴點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(4－t，0)，把 x＝4－t 代入 y＝ x＋3，32∴y＝9－ t，32∴N (4－t，9－ t)，32∵M(jìn)N∥x 軸，∴點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)為 9－ t，32把 y＝9－ t 代入 y＝－ x＋3，32 34∴x＝2t－8 ，∴M (2t－8， 9－ t)，32∴MN＝(2t－8) －(4－t) ＝3t－12，∵M(jìn)N∥AB ，∠MNQ＝ 90176。，∴NQ ＝9－ t，32當(dāng) NQ＝MN 時(shí)，∴9－ t＝3t－12，32∴t＝ ，143∴此時(shí) QB＝ ，符合題意；………………………………(10 分)143如解圖④，當(dāng)∠NQM＝90176。時(shí)，過點(diǎn) Q 作 QE⊥MN 于點(diǎn) E，過點(diǎn) M 作MF⊥x 軸于點(diǎn) F，第 3 題解圖④設(shè) QE＝a，把 y＝a 代入 y＝－ x＋3，34∴x＝4－ a，43∴M (4－ a，a)，43把 y＝a 代入 y＝ x＋3，32∴x＝ a－2 ，23∴N ( a－2，a)，23∴MN＝(4－ a)－( a－2)＝6－2a，43 23當(dāng) MN＝2QE 時(shí)，∴6－2a＝2a，∴a＝ ，32∴MF＝QE＝ ，32∵M(jìn)F∥OC，∴△BMF∽△BCO，∴ ＝ ，MFCO BFBO∴BF＝2，∴QB ＝QF＋BF ＝MF＋BF＝ ＋2＝ ，32 72∴t＝ ，此情況符合題意，…………………………………(12 分)72綜上所述，當(dāng) t＝ 或 或 秒時(shí)，△QMN 為等腰直角三角形．83 143 72………………………………………………………………(13 分)
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