【正文】 ＋3)．如解圖②，以 F、M 、 N、G 為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，必有 FM＝MG，第 1 題解圖②即|2 －a| ＝|－a 2＋2a＋3| ，① 2－a＝－(－a 2＋2a＋3)，解得 a＝ ，1177。AF＝3，BF＝1，∴MF＝BF＝1，∵RO ∥MF，∴△ARO∽△ AMF，∴ ，ROAMF?∴ ，13解得 RO＝ ，13∴CR＝3－ ＝ ，13 83在 Rt△AOR 中，AR ＝ ，2210()3??∴△ACR 的周長(zhǎng)為 ＋ ＋ ＝ ；1083 103 8＋ 4103(3)存在點(diǎn) P，使得 AP＋PH＋HG 的值最?。缃鈭D，取 OF 中點(diǎn) A′，連接 A′G 交直線(xiàn) EF 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) H，過(guò)點(diǎn) H 作HP′⊥ y 軸于點(diǎn) P，連接 AP，此時(shí)，AP＋ PH＋HG 的值最小，第 3 題解圖設(shè)直線(xiàn) A′G 的解析式為 y＝kx＋a，將 A′(1，0)，G(4 ，－5)代入得，045ka??????解得 ，35ka?????∴直線(xiàn) A′G 的解析式為 y＝－ x＋ ，53 53令 x＝2，得 y＝－ ＋ ＝－ ，103 53 53∴點(diǎn) H 的坐標(biāo)為(2，－ )，53∴符合題意的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0，－ )．53拓展二　二次函數(shù)與三角形面積問(wèn)題針對(duì)演練1. (2022 永州 12 分) 已知拋物線(xiàn) y＝ax 2＋bx－3 經(jīng)過(guò)(－1，0) ，(3， 0)兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，直線(xiàn) y＝kx 與拋物線(xiàn)交于 A，B 兩點(diǎn)．(1)寫(xiě)出點(diǎn) C 的坐標(biāo)并求出此拋物線(xiàn)的解析式；(2)當(dāng)原點(diǎn) O 為線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)時(shí)，求 k 的值及 A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)是否存在實(shí)數(shù) k 使得△ABC 的面積為 ？若存在，求出 k 的值；若不3102存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第 1 題圖2. (2022 攀枝花 )如圖，已知拋物線(xiàn) y＝－x 2＋bx＋c 與 x 軸交于 A(－1，0) ，B(3，0)兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn) P、與直線(xiàn) BC相交于點(diǎn) M，連接 PB.(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；(2)在(1)中位于第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) D，使得△BCD 的面積最大？若存在，求出 D 點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD 面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在(1)中的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) Q，使得△QMB 與△PMB 的面積相等？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第 2 題圖3. (2022 桂林)如圖，已知拋物線(xiàn) y＝－ x2＋bx＋c 與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)12A(0，8)、B(8 ，0)和點(diǎn) E，動(dòng)點(diǎn) C 從原點(diǎn) O 開(kāi)始沿 OA 方向以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) D 從點(diǎn) B 開(kāi)始沿 BO 方向以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) C、D 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) D 到達(dá)原點(diǎn) O 時(shí)，點(diǎn) C、 D 停止運(yùn)動(dòng)．(1)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式：____________________；(2)求△ CED 的面積 S 與 D 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 的函數(shù)解析式；當(dāng) t 為何值時(shí)，△CED 的面積最大？最大面積是多少？(3)當(dāng)△ CED 的面積最大時(shí)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) P(點(diǎn) E 除外) ，使△PCD 的面積等于△CED 的最大面積，若存在，求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第 3 題圖4. (2022 常州 10 分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一次函數(shù) y＝x 與二次函數(shù) y＝ x2＋bx 的圖象相交于 O、A 兩點(diǎn)，點(diǎn) A(3，3)，點(diǎn) M 為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)長(zhǎng)度為 2 的線(xiàn)段 PQ 在線(xiàn)段 OA(不包括端點(diǎn) )上滑動(dòng)，分別過(guò)點(diǎn) P、Q2作 x 軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn) PQ 1，求四邊形 P1P1 面積的最大值；(3)直線(xiàn) OA 上是否存在點(diǎn) E，使得點(diǎn) E 關(guān)于直線(xiàn) MA 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) F 滿(mǎn)足 S△AOF＝S △AOM ？若存在，求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第 4 題圖【答案】1．解：(1)令 x＝0，得 y＝－3，∴C (0，－3)，把(－ 1，0)和(3，0)代入 y＝ax 2＋bx －3 中，得，解得 ，309ab?????? 12ab?????∴拋物線(xiàn)的解析式為 y＝x 2－2x－3；…………………………(3 分)(2)聯(lián)立方程組 ，2ykx?????解得 ， ，21221 416kxkkky?????? ??? 22222 416kkxkkky??????? ???∵O 是 AB 的中點(diǎn)，∴x 1＋x 2＝0，即2 24164160kkkk??????解得 k＝－ 2， ∴ 或 ，132xy??????23xy??????∴A(－ ， 2 )，B ( ，－2 )；…………………………(7 分) ；3 3 3 3(3)不存在實(shí)數(shù) k 使得△ABC 的面積為 .理由如下：3102假設(shè)存在實(shí)數(shù) k 使得△ ABC 的面積為 ，3102聯(lián)立方程組 ，解得23yxk??????， ，21221 416kkxkkky?????? ??? 22222 416kkxkkky??????? ???則 A( )， 222416416,kkkkk????B( )， 222,kkkkk??∴S △ABC ＝ OC(xB－x A)＝ ，12 3102∴ 3 ＝ ，12 2416k?3102∴k 2＋4k＋16＝10，即 k2＋4k＋6＝0，∵b 2－4ac＝ 16－240，∴此方程無(wú)解，∴不存在實(shí)數(shù) k 使得△ ABC 的面積為 .………………(12 分)31022．解：(1)把點(diǎn) A(－1，0)，B(3，0)代入 y＝－ x2＋bx＋c ，得 ，1093bc??????解得 ，3bc????∴y＝－x 2＋2x＋3；【一題多解】由題意可知點(diǎn) A(－1，0)，點(diǎn) B(3，0) 是拋物線(xiàn)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)，∴拋物線(xiàn)解析式為 y＝－(x ＋1)(x－3)＝－x 2＋2x＋3. (2)存在點(diǎn) D，使得△ BCD 的面積最大．設(shè) D(t，－t 2＋2t＋3) ，如解圖①，作 DH⊥x 軸于點(diǎn) H，C 點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3) ，第 2 題解圖①則 S△BCD ＝S 四邊形 DCOH＋S △BDH －S △BOC ＝ t(－t 2＋2t ＋3＋3) ＋ (3－t)12 12(－t 2＋ 2t＋3) － 33＝－ t2＋ t，12 32 92∵－ ＜0，即拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸處取得最大值，32∴當(dāng) t＝－ ＝ 時(shí)，S △BCD ＝－ ( )2＋ ＝ ，922（－ 32） 32 32 32 92 32 278即點(diǎn) D 的坐標(biāo)為( ， )時(shí)，S △BCD 有最大值，且最大面積為 ；32 154 278 (3)存在點(diǎn) Q，使得△ QMB 與△PMB 的面積相等．如解圖②，∵P(1 ，4) ，過(guò)點(diǎn) P 且與 BC 平行的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求 Q 點(diǎn)之一，第 2 題解圖②∵直線(xiàn) BC 為 y＝－x ＋3，∴過(guò)點(diǎn) P 作 BC 的平行直線(xiàn) l1，設(shè) l1 為 y＝－x＋b，將 P(1，4)代入即可得到直線(xiàn) l1 的解析式為 y＝－x ＋5，聯(lián)立方程組 ，23yx???????解得 ， ，123xy????214y????∴Q 1(2，3)；∵直線(xiàn) PM 為 x＝1，直線(xiàn) BC 為 y＝－x＋3，∴M (1，2)，設(shè) PM 與 x 軸交于點(diǎn) E，∵PM＝EM＝2，∴過(guò)點(diǎn) E 作 BC 的平行直線(xiàn) l2，則過(guò)點(diǎn) E 且與 BC 平行的直線(xiàn) l2 與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)也為所求 Q 點(diǎn)之一，即將直線(xiàn) BC 向下平移 2 個(gè)單位得到直線(xiàn) l2，解析式為 y＝－x＋1，聯(lián)立方程組 ，213yx???????解得 ， ，113172xy????????223172xy????????∴Q 2( )，Q 3( )，3717,2??1717,2?∴滿(mǎn)足條件的 Q 點(diǎn)為 Q1(2，3)，Q 2( )，Q 3(3,???)．31717,22??3．解：(1)y ＝－ x2＋3x＋8；12【解法提示】把點(diǎn) A(0，8)、B (8，0)代入 y＝－ x2＋bx ＋c 可得，12，解得 ，8320cbc??????? 38bc????∴拋物線(xiàn)解析式為 y＝－ x2＋3x＋8.12(2)在 y＝－ x2＋3x ＋8 中，當(dāng) y＝0 時(shí)，－ x2＋3x＋8＝0，12 12解得 x1＝－ 2，x 2＝8，∴E(－2，0)，∴BE＝10，