【正文】 b= 2 3 1 舍去 ) . 當(dāng) b= 1 時(shí) , b2 4 ac= 0, 點(diǎn) A , B 重合 , 故丌能組成等邊三角形 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 2 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 9, 若二次函數(shù) y=a x 2 + bx+c ( a 0, c 0, a , b , c 是常數(shù) )的圖象不 x 軸交于兩個(gè)丌同的點(diǎn) A ?? 1 , 0 , B ?? 2 , 0 (0 x 1 x 2 ), 不 y 軸交于點(diǎn) P , 其圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) M , 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (3) 當(dāng) x 1 = mc ( m 0) 時(shí) , 記 △ M AB , △ PAB 的面積分別為 S 1 , S 2 , 若 △ BPO ∽△ PAO , 且S 1 =S 2 , 求 m 的值 . 圖 Z8 9 (3) 由 △ BPO ∽△ PAO , 得?? ???? ??=?? ???? ??, 即 x 1 x 2 =c 2 =????,∴ ac= 1 . 由 S 1 =S 2 , 得 c= 4 ?? ?? ?? 24 ?? =?? 24 ?? c. ∴ b 2 = 4 a 2 c= 8 ac= 8 . ∴ b= 2 2 ( b= 2 2 舍去 ) .∴ 方程可化為1??x 2 2 2 x+c= 0 .∴ x 1 =2 2 42 1??= ( 2 1) c. ∵ x 1 = mc ,∴ m= 2 1 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線(xiàn) y=mx2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長(zhǎng) AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (1) 若 △ OAC 為等腰直角三角形 , 求 m 的值 。 (2) 若對(duì)任意 m 0, C , E 兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) , 求點(diǎn) D 的坐標(biāo) ( 用含 m 的式子表示 )。 (3) 當(dāng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí) , 恰好使 ∠ ODB = ∠ OAD , 且點(diǎn) D 為線(xiàn)段 AE 的中點(diǎn) , 此時(shí)對(duì)于該拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn) P ( x 0 , y 0 ) 總有 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 成立 , 求實(shí)數(shù) n 的最小值 . 圖 Z8 10 解 :(1 ) 令 y= mx 2 16 mx+ 48 m=m ( x 4)( x 12) = 0, 于是 B (4,0) , A (12 , 0), 則 OC=O A= 12, 所以 C (0,12 ), 即48 m= 12, m= 14 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線(xiàn) y=mx 2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長(zhǎng) AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (2) 若對(duì)任意 m 0, C , E 兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) , 求點(diǎn) D 的坐標(biāo) ( 用含 m 的式子表示 )。 圖 Z8 10 (2) 設(shè)直線(xiàn) AE 的解析式為 y=kx+b , 則 12 ?? + ?? = 0 ,?? = 48 ?? . 解得 ?? = 4 ?? ,?? = 48 ?? . 所以直線(xiàn) AE 的解析式為 y= 4 mx 48 m. 由 ?? = 4 ?? ?? 48 ?? ,?? = ?? ?? 2 16 ?? ?? + 48 ?? , 解得 ?? = 8 ,?? = 16 ?? 戒 ?? = 12 ,?? = 0 . 所以 D (8, 16 m ) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線(xiàn) y=mx2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長(zhǎng) AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (3) 當(dāng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí) , 恰好使 ∠ ODB= ∠ OAD , 且點(diǎn) D 為線(xiàn)段 AE 的中點(diǎn) , 此時(shí)對(duì)于該拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn) P ( x 0 , y 0 ) 總有 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 成立 , 求 實(shí)數(shù) n 的最小值 . 圖 Z8 10 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (3) D 為 AE 的中點(diǎn) , A , E 的橫坐標(biāo)分別為 12 ,0, 故點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 6, 代入拋物線(xiàn)的解析式 , 得 D (6, 12 m ) .又由 ∠ O DB= ∠ OAD ,∠ DOB = ∠ AOD , 得 △ OBD ∽△ O DA , 所以 OD2=OA OB , 即 62+ ( 12 m )2= 4 12 . 解得m= 36( 負(fù)值舍去 ) . 所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為 y= 36x28 33x + 8 3 , 即 y= 36( x 8)28 33, 故點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) y 0 ≥ 8 33.又 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 = 2 ??02 12 3 y 0 50 = 2( y 0 + 3 3 )2+ 4, 對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) y 0 = 3 3 , 而 y 0 ≥ 8 33, 要使 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 對(duì)任意點(diǎn) P 總成立 , 則 n+16≥ 2 8 33+ 3 32+ 4, 即 n+16≥103, 即 n ≥196. 故所求實(shí)數(shù) n的最小值為196. 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 例 4 [2022郴州 ] 如圖 Z811,已知拋物線(xiàn) y=x2+bx+c不 x軸交于 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) ,不 y軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) P是拋物線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 t. (1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式 . (2)如圖① ,設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為 l,l不 x軸的交點(diǎn)為 D,在直線(xiàn) l上是否存在點(diǎn) M,使得四邊形 CDPM是平行四邊形 ?若存在 ,求出點(diǎn) M的坐標(biāo) 。若丌存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . (3)如圖② ,連接 BC,PB,PC,設(shè) △PBC的面積為 S. ①求 S關(guān)于 t的函數(shù)表達(dá)式 。 ②求點(diǎn) P到直線(xiàn) BC的距離的最大值 ,幵求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo) . 圖 Z8 11 解 :(1 ) ∵ y= x 2 +bx + c 不 x 軸交于 A ( 1,0 ), B (3 ,0) 兩點(diǎn) , ∴ 0 = 1 ?? + ?? ,0 = 9 + 3 ?? + ?? . 解得 ?? = 2 ,?? = 3 . ∴ 拋物線(xiàn)的表達(dá)式為 y= x 2 + 2 x+ 3 . 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 例 4 [2022郴州 ] 如圖 Z811,已知拋物線(xiàn) y=x2+bx+c不 x軸交于 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) ,不 y軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) P是拋物線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 t. (2)如圖① ,設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為 l,l不 x軸的交點(diǎn)為 D,在直線(xiàn) l上是否存在點(diǎn) M,使得四邊形 CDPM是平行四邊形 ?若存在 ,求出點(diǎn) M的坐標(biāo) 。若丌存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 Z8 11 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) (2) ∵ 拋物線(xiàn)的表達(dá)式為 y= x2+ 2 x+ 3, ∴ 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x= ??2 ??= 1, 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (0 , 3) . ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (1 , 0) , ∵ 點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 t , 且點(diǎn) P 在拋物線(xiàn) y= x2+ 2 x+ 3 上 , ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( t , t2+ 2 t+ 3 ) . 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1, a ), 分兩種情況討論 : ① 點(diǎn) M 在 x 軸的上方 , 當(dāng)四邊形 CDP M 是平行四邊形 , 且 C , P 和 D , M 分別是一組相對(duì)的頂點(diǎn)時(shí) , 設(shè)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為 N. 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分 , 則點(diǎn) N 的坐標(biāo)可表示為 (?? + 02,3 ??2+ 2 ?? + 32) 戒( 1,?? + 02) .∴?? + 02= 1,3 ??2+ 2 ?? + 32=?? + 02. 解得 t= 2, a= 6 .∴ 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1 ,6) . ② 點(diǎn) M 在 x 軸的下方時(shí) , 四邊形 CDP M 丌能構(gòu)成平行四邊形 , 故丌存在 . 綜 上 , 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1 ,6) . 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 例 4 [2022郴州 ] 如圖 Z811,已知拋物線(xiàn) y=x2+bx+c不 x軸交于 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) ,不 y軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) P是拋物線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 t. (3)如圖② ,連接 BC,PB,PC,設(shè) △PBC的面積為 S. ①求 S關(guān)于 t的函數(shù)表達(dá)式 。 ②求點(diǎn) P到直線(xiàn) BC的距離的最大值 ,幵求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo) . 圖 Z8 11 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) (3) ① ∵ B (3 ,0), C (0 ,3), ∴ OB= 3, OC= 3 . 根據(jù)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( t , t2+ 2 t+ 3), 過(guò)點(diǎn) P 分別作 PE ⊥ x 軸 , PF ⊥ y 軸 , 垂足分別為 E , F. ∴ PE= t2+ 2 t+ 3, PF=t ,連接 OP , 則 S=S △ POC +S △ P O B S △ B O C =12 3 t+12 3 ( t2+ 2 t+ 3) 32 3 =12 3 ( t t2+ 2 t+ 3 3) =32( t2+ 3 t ) = 32t2+92t. ∴ S 關(guān)于 t 的函數(shù)表達(dá)式為 S= 32t2+92t. ② ∵ B (3 ,0 ), C (0 ,3), ∴ OB= 3, OC= 3 .∴ BC= 3 2 . 設(shè)點(diǎn) P 到直線(xiàn) BC 的距離為 h , 則 △ PBC 的面積S=12 3 2 h=3 22h. ∵ S= 32t2+92t ,∴3 22h= 32t2+92t , h= 22( t2 3 t ) = 22t2 3 t+9494= 22t 322+9 28. ∴ 當(dāng) t=32時(shí) , h 有最大值為9 28, 此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為32,154. 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 【分層分析】 ( 1 ) 由點(diǎn) A , B 的坐標(biāo) , 利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的表達(dá)式 . ( 2 ) 本題由點(diǎn) A , B 的坐標(biāo)可得出對(duì)稱(chēng)軸 l 為直線(xiàn) x= 1 , 分 t= 2 和 t ≠ 2 兩種情況考慮 : 當(dāng) t= 2 時(shí) , 由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得出此時(shí)存在點(diǎn) M , 使得四邊形 CD P M 是平行四邊形 , 再根據(jù)點(diǎn) C 的坐標(biāo) , 利用平行四邊形的性質(zhì)可求出點(diǎn) P , M 的坐標(biāo) 。 當(dāng) t ≠ 2 時(shí) , 丌存在 , 利用平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分結(jié)合 CE ≠ PE 可得出此時(shí)丌存在符合題意的點(diǎn) M. ( 3 ) ① 過(guò)點(diǎn) P 作 PE ⊥ x 軸于點(diǎn) E , PF ⊥ y 軸于點(diǎn) F , 利用 PE , PF 的長(zhǎng) , 再由三角形的面積轉(zhuǎn)化即可求出 S 關(guān)于 t的函數(shù)表達(dá)式 。 ② 利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出 S 的最大值 , 利用勾股定理可求出線(xiàn)段 BC 的長(zhǎng)度 , 利用面積法可求出點(diǎn) P 到直線(xiàn)BC 的距離的最大值 , 再找出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)即可得出結(jié)論 . 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 曲靖 ] 如圖 Z8 12