【正文】 . 解得 ?? = 1 ,??1=54. ∴ 直線 PQ 的表達(dá)式為 y= x+54. 過點(diǎn) D 作 DF ⊥ x 軸于 E , 交 PQ 于 F. 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m , m2+ 2 m+ 3 ), 則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 m , m+54. ∴ DF= m2+ 2 m+ 3 m+54= m2+ 3 m+74= ( m2 3 m ) +74= m 322+ 4 . ∵ 直尺的寬度一定 ,∴ 當(dāng) DF 最長時(shí) , △ D P Q 的面積最大 .∴ 當(dāng) m=32時(shí) , DF 有最大值 , 最大值為 4, 此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為32,154. △ DPQ 的面積 =12 4 D F =12 4 4 = 8, ∴ △ DPQ 面積的最大值為 8 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 ② 設(shè) P ( c , c2+ 2 c+ 3), 則 Q ( c+ 4, c2 6 c 5) . 把 P , Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線 PQ 的表達(dá)式 y=k 1 x+ b 2 , 得 ??2+ 2 ?? + 3 = ?? ??1+ ??2, ??2 6 ?? 5 = ( ?? + 4 ) ??1+ ??2. 解得 ??1= 2 ?? 2 ,??2= ??2+ 4 ?? + 3 . ∴ 直線 PQ 的表達(dá)式為 y= (2 c+ 2) x+c2+ 4 c+ 3 . 過點(diǎn) D 作 DF ⊥ x 軸于點(diǎn) G , 交 PQ 于點(diǎn) F. 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m 1 , ??12+ 2 m 1 + 3), 則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 ( m 1 , 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3) . ∴ DF= ??12+ 2 m 1 + 3 ( 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3) = ??12+ (2 c+ 4) m 1 ( c2+ 4 c ) = [ m 1 ( c+ 2)]2+ 4, 當(dāng) m 1 = c+ 2 時(shí) , DF 最大 , 則 △ DPQ 的面積最大 . 此時(shí) , △ DPQ 的面積 =12 4 D F=12 4 4 = 8 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 【分層分析】 (1) 用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式 . (2) ① 根據(jù)題意 , 先求得 P , Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo) , 再用待定系數(shù)法求直線 PQ 的表達(dá)式 . 過點(diǎn) D 作 DF ⊥ x 軸于 G ,交 PQ 于 F. 直尺的 寬度一定 , 當(dāng) DF 最長時(shí) , △ DPQ 的面積最大 . 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m , m2+ 2 m+ 3), 則點(diǎn) F的坐標(biāo)為 m , m+54, 求得 DF 的最大值 , 然后根據(jù)三角形的面積公式 , 求得 △ DPQ 面積的最大值 . ② 同理 , 設(shè) P ( c , c2+ 2 c+ 3), Q ( c+ 4, c2 6 c 5), 則直線 PQ 的表達(dá)式可求 。(x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,拋物線上另有一點(diǎn) C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (2)設(shè)直線 BC不 y軸交于點(diǎn) M,點(diǎn) C是 BM的中點(diǎn)時(shí) ,求直線 BM和拋物線的解析式 . 圖 Z8 2 (2) 在 Rt △ BOM 中 ,∵ C 是 BM 的中點(diǎn) ,∴ OC=B C , 從而點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為32. 又 O C= 3 , 點(diǎn) C 在 x 軸下方 ,∴ C32, 32. 設(shè)直線 BM 的解析式為 y=kx+b. ∵ 其過點(diǎn) B (3 ,0), C32, 32,∴ 3 ?? + ?? = 0 ,32?? + ?? = 32. ∴ ?? = 33,?? = 3 , ∴ 直線 BM 的解析式為 y= 33x 3 . 又點(diǎn) C32, 32在拋物線上 , 代入拋物線的解析式 , 解得 a=2 33.∴ 拋物線的解析式為 y=2 33x28 33x+ 2 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 1 [2022 AB ,∴ OC=?? ?? (3 ) 如圖 ② , 點(diǎn) Q 是折線 A B C 上一點(diǎn) , 過點(diǎn) Q 作 QN ∥ y 軸 , 過點(diǎn) E 作 EN ∥ x 軸 , 直線 QN 不直線 EN 相交于點(diǎn) N , 將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN1, 若點(diǎn) N1落在 x 軸上 , 請(qǐng)直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 圖 Z8 4 解 :(1 ) 將 B 32,2 代入 y=a ?? 12 2 2, 得 2 =a 32 12 2 2 . 解得 a= 1 . ∴ 拋物線的 解析式為 y= ?? 12 2 2 =x 2 x 74. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 例 2 [2 0 1 8 麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn) E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左邊 ),點(diǎn) C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時(shí) ,AD=4. (2)當(dāng) t為何值時(shí) ,矩形 ABCD的周長有最大值 ?最大值是多少 ? 圖 Z8 5 (2) 由拋物線的對(duì)稱性 , 得 BE=OA=t ,∴ AB= 10 2 t. 當(dāng) x=t 時(shí) , y= 14t2+52t. ∴ 矩形 ABC D 的周長 = 2( AB+AD ) = 2 ( 10 2 ?? ) + ( 14??2+52?? ) = 12t2+t+ 20 = 12( t 1)2+412. ∵ 12 0,0 1 10, ∴ 當(dāng) t= 1 時(shí) , 矩形 ABC D 的周長有最大值 , 最大值是412. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 1 [2022攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (1)求拋物線的解析式 ,幵求點(diǎn) A的坐標(biāo) . 【分層分析】 把 B(3,0),C(0,3)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 y=x2+bx+c,得到關(guān)于 b,c的方程組 ,求出b,c,得到解析式 ,令 y=0,即可求得點(diǎn) A的坐標(biāo) . 圖 Z8 7① 解 :(1 ) 由題意 , 得 3 2 + 3 ?? + ?? = 0 ,?? = 3 . 解得 ?? = 4 ,?? = 3 . ∴ 拋物線的解析式為 y=x 2 4 x+ 3 . 令 y= 0, 得 x 2 4 x+ 3 = 0 . 解得 x 1 = 1, x 2 = 3 .∴ A (1 ,0) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (5)如圖③ ,點(diǎn) D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn) ,若 △BCD是銳角三角形 ,求點(diǎn) D的縱坐標(biāo)的取值范圍 . 【分層分析】 以 BC為直徑作圓 ,則圓不對(duì)稱軸的交點(diǎn) (設(shè)為 D3,D4)不點(diǎn) B,C構(gòu)成的三角形是直角三角形 ,由已知條件求得 D3,D4的坐標(biāo) ,結(jié)合 (4),求得點(diǎn) D的縱坐標(biāo)的取值范圍 . 圖 Z8 7③ 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (5) 如圖 ④ , 以 BC 的中點(diǎn) T32,32為圓心 ,12BC 的長為半徑作 ☉ T , 不直線 x= 2 交于 D 3 和 D 4 兩點(diǎn) . 由直徑所對(duì)的圓周角是直角 , 得 ∠ CD 3 B= ∠ CD 4 B= 90176。 長沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線 y=mx 2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長 AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (2) 若對(duì)任意 m 0, C , E 兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 , 求點(diǎn) D 的坐標(biāo) ( 用含 m 的式子表示 )。 當(dāng) t ≠ 2 時(shí) , 丌存在 , 利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分結(jié)合 CE ≠ PE 可得出此時(shí)丌存在符合題意的點(diǎn) M. ( 3 ) ① 過點(diǎn) P 作 PE ⊥ x 軸于點(diǎn) E , PF ⊥ y 軸于點(diǎn) F , 利用 PE , PF 的長 , 再由三角形的面積轉(zhuǎn)化即可求出 S 關(guān)于 t的函數(shù)表達(dá)式 。1??= ( 2 1) c. ∵ x 1 = mc ,∴ m= 2 1 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 于點(diǎn) H , 則 PE+ EF=PF 39。?? ???? ??=1??. 過點(diǎn) P 作 PH ⊥ OB 交 OB 的延長線于點(diǎn) H , 則 △ PHB 為等腰直角三角形 . ∵ PB=1??,∴ PH=HB= 22 ??. ∴ P 22 ??,1 + 22 ??. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 2 5 n+ 5 . 由 ② 得 x2=n2 1, ∴ n2177。龍巖質(zhì)檢 ] 已知拋物線 y=x2+bx+c. (3)若拋物線上的點(diǎn) P(s,t),滿足 1≤s≤1時(shí) ,1≤t≤4+b,求 b,c的值 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (3) 分三種情況討論 : ① 當(dāng) ??2 1, 即 b 2 時(shí) , 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大 , 依題意 , 有 1 ?? + ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 3 ,?? = 3 . ② 當(dāng) 1 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 2 時(shí) , x= ??2時(shí) , 函數(shù)值 y 取最小值 . ( ⅰ ) 若 0 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 0 時(shí) , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ??1= 4 2 6 ,??1= 11 4 6 , ??2= 4 + 2 6 ,??2= 11 + 4 6 ( 舍去 ) . ( ⅱ ) 若 1 ≤ ??2 0, 即 0 b ≤ 2 時(shí) , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 177。 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x 2 +bx 經(jīng)過 △ OAB 的三個(gè)頂點(diǎn) , 其中點(diǎn) A (1, 3 ), 點(diǎn) B (3, 3 ), O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (3) 若 C 為線段 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 當(dāng)點(diǎn) A , 點(diǎn) B 到直線 OC 的距離之 和最大時(shí) , 求 ∠ BOC 的大小及點(diǎn) C 的坐標(biāo) . 圖 Z8 3 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (3) 如圖所示 , 過點(diǎn) A 作 AD ⊥ OC 于點(diǎn) D , 過點(diǎn) B 作 BE ⊥ OC 于點(diǎn) E. ∵ S △ A O B =S △ A O C +S △ B O C =12OC (x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,拋物線上另有一點(diǎn) C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (1)求線段 OC的長度 . (2)設(shè)直線 BC不 y軸交于點(diǎn) M,點(diǎn) C是 BM的中點(diǎn)時(shí) ,求直線 BM和拋物線的解析式 . (3)在 (2)的條件下 ,直線 BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn) P,使得四邊形 ABPC的面 積最大 ?若存在 ,請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。若丌存在 ,請(qǐng)說明理由 . 圖 Z8 2 解 :(1 ) 由題可知 , 當(dāng) y= 0 時(shí) , a ( x 1)( x 3) = 0, 解得 x 1 = 1, x 2 = 3 .∴ A ( 1,0),