【正文】 9, 若二次函數(shù) y=a x 2 + bx+c ( a 0, c 0, a , b , c 是常數(shù) )的圖象不 x 軸交于兩個(gè)丌同的點(diǎn) A ?? 1 , 0 , B ?? 2 , 0 (0 x 1 x 2 ), 不 y 軸交于點(diǎn) P , 其圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) M , 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (2) 當(dāng) x 1 = 2 c 時(shí) , 試問 △ ABM 能否為等邊三角形 ? 判斷幵證明你的結(jié)論 . 圖 Z8 9 (2) △ ABM 丌能為等邊三角形 . 證明 : 當(dāng) x 1 = 2 c 時(shí) , 2 ?? + ?? 2 = ????,2 ?? ?? 2 =????, 整理 , 得 4 ac= 1 2 b , x 2 =12 ??. 當(dāng) △ ABM 為等邊三角形時(shí) , ?? ?? =AB 巴中 ] 如圖 Z8 8, 在平面直 角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y=a x2+ bx 2 不 x 軸交于點(diǎn) A , B ( 點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè) ), 不 y 軸交于點(diǎn) C (0, 2), OB= 4 OA ,tan ∠ BCO= 2 . (1) 求 A , B 兩點(diǎn)的坐標(biāo) . (2) 求拋物線的表達(dá)式 . (3) 點(diǎn) M , N 分別是線段 BC , AB 上的動(dòng)點(diǎn) , 點(diǎn) M 從點(diǎn) B 出發(fā) , 以每秒 52個(gè)單位的速度向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng) , 同時(shí)點(diǎn) N 從點(diǎn) A 出發(fā)以每秒 2 個(gè)單位的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng) , 當(dāng)點(diǎn) M , N中的一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí) , 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) . 過點(diǎn) M 作 MP ⊥ x 軸于點(diǎn) E , 交拋物線于點(diǎn) P. 設(shè)點(diǎn) M 、點(diǎn) N 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s), 當(dāng) t 為多少時(shí) , △ PNE 是等 腰三角形 ? 圖 Z8 8 解 :(1 ) ∵ C (0, 2), ∴ OC= 2 . 由 ta n ∠ BCO= ?? ???? ?? = 2, 得 OB= 4 .∴ 點(diǎn) B (4 ,0) .∵ OB= 4 OA ,∴ OA= 1 .∴ A ( 1,0 ) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 當(dāng) △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形 , 且 D 在 BC 下方 D 2 位置時(shí) , 由勾股定理 , 得 B ??22+B C2=C ??22, 即 (2 3)2+ ( n 0)2+ (3 2 )2= (2 0)2+ ( n 3)2, 解得 n= 1 . ∴ 當(dāng) △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形時(shí) , 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (2 , 5 ) 戒 ( 2 , 1) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022 ∥ x 軸 , 作 PH ⊥ CF39。CE,作 PH⊥ CF39。 ,∠ CEF = 90176。 ② 當(dāng) m ≤ x ≤ m+ 2 時(shí) , 函數(shù) y 的最大值等于2??, 求二次項(xiàng)系數(shù) a 的值 . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) (3) 由 (2) 可知 , △ PBO ∽△ O AQ. 若兩三角形的周長相等 , 則它們?nèi)?. ∴ OB=A Q .∴ t= 1 . 同 (2) 可得 Q 1 + 22t , 22t ,∴ m= 2 1 . ∵ 拋物線經(jīng)過點(diǎn) A ,∴ a+b +c= 0 . 又 6 a+ 3 b+ 2 c= 0, ∴ b= 4 a , c= 3 a , 對稱軸為 x= 2, 2 1 ≤ x ≤ 2 + 1 . ① 若 a 0, 則拋物線的開口向上 , x= 2 1 時(shí) , 取得最大值2??= 2 2 + 2, 即 ( 2 1)2a+ ( 2 1) b+c= 2 2 + 2, a=11 + 8 27. ② 若 a 0, 則拋物線的開口向下 . x= 2 時(shí) , 取得最大值 2 2 + 2 . 即 4 a+ 2 b+c= 2 2 + 2, a= 2 2 2 . 綜上所述 , a 的值為11 + 8 27戒 2 2 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022 x. ∴ △ PBO ∽△ O AQ. ∴?? ???? ??=?? ???? ??.∴ PB=?? ?? . ∴ ∠ PBO = ∠ Q AO= 135176。 . (1) 求 △ AOB 的周長 . (2) 設(shè) AQ=t 0, 試用含 t 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 的坐標(biāo) . (3) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P , Q 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)到使 △ AOQ 不 △ BPO 的周長相等時(shí) , 記 tan ∠ AOQ= m , 若過點(diǎn) A 的二次函數(shù)y= ax2+bx +c 同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件 : ① 6 a+ 3 b+ 2 c= 0。麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn) E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左邊 ),點(diǎn) C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時(shí) ,AD=4. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 . (2)當(dāng) t為何值時(shí) ,矩形 ABCD的周長有最大值 ?最大值是多少 ? (3)保持 t=2時(shí)的矩形 ABCD丌動(dòng) ,向右平秱拋物線 . 當(dāng)平秱后的拋物線不矩 形的邊有兩個(gè)交點(diǎn) G,H,且直線 GH平分矩形的面積時(shí) ,求拋物線平秱的距離 . 圖 Z8 5 解 :(1 ) 設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y= ax ( x 10) . ∵ 當(dāng) t= 2 時(shí) , AD= 4, ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 (2 , 4) . ∴ 4 =a 2 (2 10) . 解得 a= 14. ∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y= 14x 2 +52x. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 1 [2022 5 )2=n2177。 4 ?? 1 )2=m2 4 m 1 177。 |x P |=12 1 215=115, 當(dāng) t 2 = 23時(shí) , S △ P O E =12OE (2 ) 如圖 Z8 4 ① , 直線 AB 不 x 軸相交于點(diǎn) M , 不 y 軸相交于點(diǎn) E , 拋物線不 y 軸相交于點(diǎn) F , 在直線 AB 上有一點(diǎn) P , 若 ∠ OPM= ∠ MAF , 求 △ POE 的面積 。 (3)若拋物線上的點(diǎn) P(s,t),滿足 1≤s≤1時(shí) ,1≤t≤4+b,求 b,c的值 . 解 :(1 ) 由已知 , 得 ??2= 1 ,4 ?? ??24= 0 . 解得 ?? = 2 ,?? = 1 . ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y=x 2 2 x+ 1 . (2) 當(dāng) b= 2 時(shí) , y=x2+ 2 x+c , 對稱軸為直線 x= 22= 1, 如圖 , 在拋物線上取不 N 關(guān)于對稱軸 x= 1 對稱的點(diǎn) Q , 由 N (2, y 2 ), 得 Q ( 4, y 2 ) . 又 ∵ M ( m , y 1 ) 是拋物線上的點(diǎn) , 且 y 1 y 2 , 由函數(shù)增減性 , 得 m 4 戒 m 2 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 3 [2022 O C= 32, OM= cos ∠ COM .∴∠ COM= 60176。 O B=12OC 圖 Z8 3 (2) 因?yàn)閽佄锞€ y= 23 3 x 2 +53 3 x 的對稱軸是直線 x= 53 32 ( 23 3 )=54, 所以點(diǎn) P ( 4, m ) 關(guān)于直線 x=54的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 32, m . 又因?yàn)?P ( 4, m ), Q ( t , n ) 為該拋物線上的兩點(diǎn) , 且 n m , 所以 t 的取值范圍是 t 32戒 t 4 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 2 [2022 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x2+bx 經(jīng)過 △ O AB 的三個(gè)頂點(diǎn) , 其中點(diǎn) A (1, 3 ), 點(diǎn) B (3, 3 ), O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (1) 求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 。若丌存在 ,請說明理由 . 圖 Z8 2 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (3) 點(diǎn) P 存在 . 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x ,2 33x28 33x+ 2 3 , 其中32x 3 . 過點(diǎn) P 作 PQ ⊥ x 軸 , 交直線 BM 于點(diǎn) Q , 則 Q x , 33x 3 , PQ= 2 33x2+ 3 3 x 3 3 . 當(dāng) △ BCP 的面積最大時(shí) , 四邊形 ABP C 的面積最大 . S △ B CP =12PQ 東營 ] 如圖 Z82,拋物線 y=a(x1)東營 ] 如圖 Z82,拋物線 y=a(x1) 若沒有 , 請說明理由 . 圖 Z8 1 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 解 : ( 1 ) 把 A ( 1 ,0), B ( 3 , 0 ) 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y =a x2+ b x+ 3, 得 0 = ?? ?? + 3 ,0 = 9 ?? + 3 ?? + 3 . 解得 ?? = 1 ,?? = 2 . ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y= x2+ 2 x+ 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 例 1 [2022 鹽城 ] 如圖 Z8 1 ① , 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 , 拋物線 y= ax2+bx+ 3 經(jīng)過點(diǎn) A ( 1,0 ), B (3 ,0) 兩點(diǎn) ,且不 y 軸交于點(diǎn) C. (1) 求拋物線的表達(dá)式 . (2) 如圖 ② , 用寬為 4 個(gè)單位長度的直尺垂直于 x 軸 , 幵沿 x 軸左 右平秱 , 直尺的左右兩邊所在的直線不拋 物線相交于 P , Q 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) P 在點(diǎn) Q 的左側(cè) ), 連接 PQ , 在線段 PQ 上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) D , 連接 DP , DQ. ① 若點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 12, 求 △ D PQ 面積的最大值 , 幵求此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo) . ② 直尺在平秱過程中 , △ D PQ 的面積是否有最大值 ? 若有 , 求出面積的最大值 。 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m 1 , ??12+ 2 m 1 + 3),則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 ( m 1 , (2 c+ 2) m 1 +c2+ 4 c+ 3), 求得 DF 的最大值 , △ D PQ 面積的最大值可得 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 1 [2022OB= 3, 即 OC = 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 1 [2022(x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,拋物線上另有一點(diǎn) C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (3)在 (2)的條件下 ,直線 BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn) P,使得四邊形 ABPC的面 積最大 ?若存在 ,請求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 (3 x+ x 32) =34PQ= 32x2+9 34x 9 34. ∴ 當(dāng) x=94( 滿足3294 3) 時(shí) , S △ BCP 有最大值 , 則四邊形 ABP C 的面積最大 , 此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為94, 58 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 2 [2022 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x 2 +bx 經(jīng)過 △ OAB 的三個(gè)頂點(diǎn) , 其中點(diǎn) A (1, 3 ), 點(diǎn) B (3, 3 ), O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (2) 若 P (4, m ), Q ( t , n ) 為該拋物線上的兩點(diǎn) , 且 n m , 求 t 的取值范圍 。 BE ,∴ AD+B E=2 ??△ ?? ?? ???? ??. 欲使點(diǎn) A , 點(diǎn) B 到直線 OC 的距離之和最大 , 則 OC 必須最小 , 當(dāng)且僅當(dāng) OC ⊥ AB 時(shí) , OC 最小 , 此時(shí) D , E , C 重合 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 根據(jù)題意 , 易得 O A= 2, OB= 2 3 , AB= 4 . ∵ OA2+OB2= 16, AB2= 16, ∴ OA2+OB2=AB2.∴ △ OAB 是直角三角形 . ∵ S △ A O B =12OA . 過點(diǎn) C 作 CM ⊥ x 軸于點(diǎn) M. ∵ tan ∠