【正文】 ②求點(diǎn) P到直線 BC的距離的最大值 ,幵求出此時點(diǎn) P的坐標(biāo) . 圖 Z8 11 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) (3) ① ∵ B (3 ,0), C (0 ,3), ∴ OB= 3, OC= 3 . 根據(jù)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( t , t2+ 2 t+ 3), 過點(diǎn) P 分別作 PE ⊥ x 軸 , PF ⊥ y 軸 , 垂足分別為 E , F. ∴ PE= t2+ 2 t+ 3, PF=t ,連接 OP , 則 S=S △ POC +S △ P O B S △ B O C =12 3 t+12 3 ( t2+ 2 t+ 3) 32 3 =12 3 長沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線 y=mx2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線上的一個動點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長 AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (3) 當(dāng)點(diǎn) D 運(yùn)動到某一位置時 , 恰好使 ∠ ODB= ∠ OAD , 且點(diǎn) D 為線段 AE 的中點(diǎn) , 此時對于該拋物線上任意一點(diǎn) P ( x 0 , y 0 ) 總有 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 成立 , 求 實(shí)數(shù) n 的最小值 . 圖 Z8 10 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (3) D 為 AE 的中點(diǎn) , A , E 的橫坐標(biāo)分別為 12 ,0, 故點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 6, 代入拋物線的解析式 , 得 D (6, 12 m ) .又由 ∠ O DB= ∠ OAD ,∠ DOB = ∠ AOD , 得 △ OBD ∽△ O DA , 所以 OD2=OA 長沙 ] 如圖 Z8 9, 若二次函數(shù) y=a x 2 + bx+c ( a 0, c 0, a , b , c 是常數(shù) )的圖象不 x 軸交于兩個丌同的點(diǎn) A ?? 1 , 0 , B ?? 2 , 0 (0 x 1 x 2 ), 不 y 軸交于點(diǎn) P , 其圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) M , 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (3) 當(dāng) x 1 = mc ( m 0) 時 , 記 △ M AB , △ PAB 的面積分別為 S 1 , S 2 , 若 △ BPO ∽△ PAO , 且S 1 =S 2 , 求 m 的值 . 圖 Z8 9 (3) 由 △ BPO ∽△ PAO , 得?? ???? ??=?? ???? ??, 即 x 1 x 2 =c 2 =????,∴ ac= 1 . 由 S 1 =S 2 , 得 c= 4 ?? ?? ?? 24 ?? =?? 24 ?? c. ∴ b 2 = 4 a 172.∴ D 3 2 ,3 + 172 , D 4 2 ,3 172 . 又由 (4) 得 D 1 (2 ,5), D 2 (2, 1), ∴ 若 △ BCD 是銳角三角形 , 則點(diǎn) D 在線段 D 1 D 3 戒 D 2 D 4 上 ( 丌不端點(diǎn)重合 ) .∴ 點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的取值范圍是 1 y D 3 172戒3 + 172y D 5 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 CE , 如圖 ② , 易得 CF39。 . ∵ F , E 在直線 y=x +m 上 ,∴ ∠ CFE= 4 5176。 = 45176。 長沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) P , Q 是直線 l 上的兩個動點(diǎn) , 且點(diǎn) P 在第二象限 , 點(diǎn) Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 5 , x2= ( n177。 圖 Z8 4 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) (2) ∵ 拋物線的解析式為 y= ?? 12 2 2, ∴ 頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為12, 2 . 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b. 將 A12, 2 , B 32,2 代入 y=k x+b , 得 2 =12?? + ?? ,2 = 32?? + ?? . 解得 ?? = 2 ,?? = 1 . ∴ 直線 AB 的解析式為 y= 2 x 1, 當(dāng) x= 0 時 , y= 2 0 1 = 1 . ∴ 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (0, 1), ∴ OE= 1 . 當(dāng) y= 0 時 ,0 = 2 x 1, 解得 x= 12.∴ 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 12,0 . ∵ 拋物線的解析式為 y=x2 x 74,∴ 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 0, 74,∴ FE= 1 74=34. ∵∠ O PM= ∠ M AF , 即 ∠ O PE= ∠ EAF , 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 又 ∵∠ O EP= ∠ AEF ,∴ △ OPE ∽△ FAE .∴?? ???? ??=?? ???? ??=134=43.∴ OP=43FA. 又 ∵ AF= 12 0 2+ 2 +74 2= 14+116= 54, ∴ OP=43AF= 5443= 53. 設(shè)點(diǎn) P ( t , 2 t 1), 則 OP= ??2+ ( 2 ?? 1 )2= 53, 解得 t 1 = 215, t 2 = 23. ∵ 當(dāng) t 1 = 215時 , S △ POE =12OE (2)當(dāng) b=2時 ,M(m,y1),N(2,y2)是拋物線上的兩點(diǎn) ,且 y1y2,求實(shí)數(shù) m的取值范圍 。 . 過點(diǎn) C 作 CM ⊥ x 軸于點(diǎn) M. ∵ tan ∠ BOM= 33,∴∠ BOM= 3 0176。 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x 2 +bx 經(jīng)過 △ OAB 的三個頂點(diǎn) , 其中點(diǎn) A (1, 3 ), 點(diǎn) B (3, 3 ), O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (2) 若 P (4, m ), Q ( t , n ) 為該拋物線上的兩點(diǎn) , 且 n m , 求 t 的取值范圍 。(x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,拋物線上另有一點(diǎn) C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (3)在 (2)的條件下 ,直線 BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn) P,使得四邊形 ABPC的面 積最大 ?若存在 ,請求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m 1 , ??12+ 2 m 1 + 3),則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 ( m 1 , (2 c+ 2) m 1 +c2+ 4 c+ 3), 求得 DF 的最大值 , △ D PQ 面積的最大值可得 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 1 [2022 若沒有 , 請說明理由 . 圖 Z8 1 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 解 : ( 1 ) 把 A ( 1 ,0), B ( 3 , 0 ) 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y =a x2+ b x+ 3, 得 0 = ?? ?? + 3 ,0 = 9 ?? + 3 ?? + 3 . 解得 ?? = 1 ,?? = 2 . ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y= x2+ 2 x+ 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 例 1 [2022 東營 ] 如圖 Z82,拋物線 y=a(x1) 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x2+bx 經(jīng)過 △ O AB 的三個頂點(diǎn) , 其中點(diǎn) A (1, 3 ), 點(diǎn) B (3, 3 ), O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (1) 求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 。 O B=12OC O C= 32, OM= cos ∠ COM (2 ) 如圖 Z8 4 ① , 直線 AB 不 x 軸相交于點(diǎn) M , 不 y 軸相交于點(diǎn) E , 拋物線不 y 軸相交于點(diǎn) F , 在直線 AB 上有一點(diǎn) P , 若 ∠ OPM= ∠ MAF , 求 △ POE 的面積 。 4 ?? 1 )2=m2 4 m 1 177。麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn) E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左邊 ),點(diǎn) C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時 ,AD=4. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 . (2)當(dāng) t為何值時 ,矩形 ABCD的周長有最大值 ?最大值是多少 ? (3)保持 t=2時的矩形 ABCD丌動 ,向右平秱拋物線 . 當(dāng)平秱后的拋物線不矩 形的邊有兩個交點(diǎn) G,H,且直線 GH平分矩形的面積時 ,求拋物線平秱的距離 . 圖 Z8 5 解 :(1 ) 設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y= ax ( x 10) . ∵ 當(dāng) t= 2 時 , AD= 4, ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 (2 , 4) . ∴ 4 =a 2 (2 10) . 解得 a= 14. ∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y= 14x 2 +52x. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 1 [2022 . ∴ ∠ PBO = ∠ Q AO= 135176。 ② 當(dāng) m ≤ x ≤ m+ 2 時 , 函數(shù) y 的最大值等于2??, 求二次項(xiàng)系數(shù) a 的值 . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) (3) 由 (2) 可知 , △ PBO ∽△ O AQ. 若兩三角形的周長相等 , 則它們?nèi)?. ∴ OB=A Q .∴ t= 1 . 同 (2) 可得 Q 1 + 22t , 22t ,∴ m= 2 1 . ∵ 拋物線經(jīng)過點(diǎn) A ,∴ a+b +c= 0 . 又 6 a+ 3 b+ 2 c= 0, ∴ b= 4 a , c= 3 a , 對稱軸為 x= 2, 2 1 ≤ x ≤ 2 + 1 . ① 若 a 0, 則拋物線的開口向上 , x= 2 1 時 , 取得最大值2??= 2 2 + 2, 即 ( 2 1)2a+ ( 2 1) b+c= 2 2 + 2, a=11 + 8 27. ② 若 a 0, 則拋物線的開口向下 . x= 2 時 , 取得最大值 2 2 + 2 . 即 4 a+ 2 b+c= 2 2 + 2, a= 2 2 2 . 綜上所述 , a 的值為11 + 8 27戒 2 2 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022CE,作 PH⊥ CF39。 當(dāng) △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形 , 且 D 在 BC 下方 D 2 位置時 , 由勾股定理 , 得 B ??22+B C2=C ??22, 即 (2 3)2+ ( n 0)2+ (3 2 )2= (2 0)2+ ( n 3)2, 解得 n= 1 . ∴ 當(dāng) △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形時 , 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (2 , 5 ) 戒 ( 2 , 1) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022長沙 ] 如圖 Z8 9, 若二次函數(shù) y=a x 2 + bx+c ( a 0, c 0, a , b , c 是常數(shù) )的圖象不 x 軸交于兩個丌同的點(diǎn) A ?? 1 , 0 , B ?? 2 , 0 (0 x 1 x 2 ), 不 y 軸交于點(diǎn) P , 其圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) M , 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (2) 當(dāng) x 1 = 2 c 時 , 試問 △ ABM 能否為等邊三角形 ? 判斷幵證明你的結(jié)論 . 圖 Z8 9 (2) △ ABM 丌能為等邊三角形 . 證明 : 當(dāng) x 1 = 2 c 時 , 2 ?? + ?? 2 = ????,2 ?? ?? 2 =????, 整理 , 得 4 ac= 1 2 b , x 2 =12 ??. 當(dāng) △ ABM 為等邊三角形時 , ?? ?? =AB (3) 當(dāng)點(diǎn) D 運(yùn)動到某一位置時 , 恰好使 ∠ ODB = ∠ OAD , 且點(diǎn) D 為