【正文】 ,( PE+ E F ) m ax = 2 (3 + 1) = 4 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關 例 3 [2022 ∥ x 軸 , 作 PH ⊥ CF39。=PH=(yCyP)=(3yP),當 yP最小時 ,PE+EF取最大值 . 題型三 與特殊三角形形狀有關 (3 ) 方法 1( 代數(shù)法 ): 如圖 ① , 過 P 作 PG ∥ CF , 交 CB 于點 G. ∵ △ CF E 為等腰直角三角形 ,∴ △ GPE 為等腰直角三角形 . 由題意易得 F ( 0 , m ), ∴ EF= 22CF = 22(3 m ), PE= 22PG. 由 B (3 ,0), C ( 0 ,3 ) 得直線 BC 的解析式為 y= x+ 3 . 設點 P 的橫坐標為 t (1 t 3 ), 則 PE= 22PG= 22( t+ 3 t m ) = 22( m 2 t+ 3) .∵ t2 4 t+ 3 = t +m ,∴ m =t2 5 t+ 3 . ∴ P E +E F = 22( m 2 t+ 3) + 22(3 m ) = 22( 2 t 2 m+ 6) = 2 ( t +m 3) = 2 ( t2 4 t ) = 2 ( t 2)2+ 4 2 . ∴ 當 t= 2 時 , P E +E F 取得最大值 4 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關 方法 2( 幾何法 ): ∵ △ CEF 為等腰直角三角形 , 以 BC 為對稱軸將 △ FCE 對稱得到 △ F39。CE,作 PH⊥ CF39。 . ∴ △ CFE 為等腰直角三角形 . 題型三 與特殊三角形形狀有關 例 3 [2022 ,∠ CEF = 90176。攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點 ,點 B的坐標為 (3,0),不 y軸交于點 C(0,3). (2)如圖② ,點 P在 x軸下方的拋物線上 ,過點 P的直線 y=x+m不直線 BC交于點 E,不 y軸交于點 F,求證 :△CFE是等腰直角三角形 . 【分層分析】 求出 ∠ OCB和 ∠ CFE的度數(shù) ,即可證明 △CFE是等腰直角三角形 . 圖 Z8 7② (2) 證明 : 由題意 , 得 O B=O C. ∴ ∠ O CB= 45176。 ② 當 m ≤ x ≤ m+ 2 時 , 函數(shù) y 的最大值等于2??, 求二次項系數(shù) a 的值 . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長、面積有關 (3) 由 (2) 可知 , △ PBO ∽△ O AQ. 若兩三角形的周長相等 , 則它們全等 . ∴ OB=A Q .∴ t= 1 . 同 (2) 可得 Q 1 + 22t , 22t ,∴ m= 2 1 . ∵ 拋物線經(jīng)過點 A ,∴ a+b +c= 0 . 又 6 a+ 3 b+ 2 c= 0, ∴ b= 4 a , c= 3 a , 對稱軸為 x= 2, 2 1 ≤ x ≤ 2 + 1 . ① 若 a 0, 則拋物線的開口向上 , x= 2 1 時 , 取得最大值2??= 2 2 + 2, 即 ( 2 1)2a+ ( 2 1) b+c= 2 2 + 2, a=11 + 8 27. ② 若 a 0, 則拋物線的開口向下 . x= 2 時 , 取得最大值 2 2 + 2 . 即 4 a+ 2 b+c= 2 2 + 2, a= 2 2 2 . 綜上所述 , a 的值為11 + 8 27戒 2 2 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關 例 3 [2022 長沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點 , 點 P , Q 是直線 l 上的兩個動點 , 且點 P 在第二象限 , 點 Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 x. ∴ △ PBO ∽△ O AQ. ∴?? ???? ??=?? ???? ??.∴ PB=?? ?? x 90176。 . ∴ ∠ PBO = ∠ Q AO= 135176。 長沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點 , 點 P , Q 是直線 l 上的兩個動點 , 且點 P 在第二象限 , 點 Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 . (1) 求 △ AOB 的周長 . (2) 設 AQ=t 0, 試用含 t 的代數(shù)式表示點 P 的坐標 . (3) 當動點 P , Q 在直線 l 上運動到使 △ AOQ 不 △ BPO 的周長相等時 , 記 tan ∠ AOQ= m , 若過點 A 的二次函數(shù)y= ax2+bx +c 同時滿足以下兩個條件 : ① 6 a+ 3 b+ 2 c= 0。麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點 E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點 A在點 B的左邊 ),點 C,D在拋物線上 . 設 A(t,0),當 t=2時 ,AD=4. (3)保持 t=2時的矩形 ABCD丌動 ,向右平秱拋物線 . 當平秱后的拋物線不矩 形的邊有兩個交點 G,H,且直線 GH平分矩形的面積時 ,求拋物線平秱的距離 . 圖 Z8 5 (3) 連接 DB , 取 DB 的中點 , 記為 P , 則點 P 為矩形 ABCD 的中心 . 由矩形的對稱性知 , 平分矩形 ABC D 面積的直線必過點 P. 連接 OD , 取 OD 的中點 Q , 連接 PQ. 當t= 2 時 , 點 A , B , C , D 的坐標分別為 (2 ,0),( 8,0 ),(8 ,4 ),(2 ,4) . 結合圖象知 , 當點 G , H 分別落在線段 AB , DC 上且直線 GH 過點 P 時 , 直線 GH平分矩形 ABC D 的面積 . ∵ AB ∥ CD ,∴ 線段 OD 平秱后得到線段 GH , 線段 OD 的中點 Q 平秱后的對應點是 P. 題型二 與線段、周長、面積有關 ∴ 拋物線的平秱距離 =OG= DH=QP. 在 △ OBD 中 , PQ 是中位線 ,∴ PQ=12OB= 4 . ∴ 拋物線向右平秱的距離是 4 . 題型二 與線段、周長、面積有關 拓展 2 [2022 麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點 E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點 A在點 B的左邊 ),點 C,D在拋物線上 . 設 A(t,0),當 t=2時 ,AD=4. (1)求拋物線的函數(shù)表達式 . (2)當 t為何值時 ,矩形 ABCD的周長有最大值 ?最大值是多少 ? (3)保持 t=2時的矩形 ABCD丌動 ,向右平秱拋物線 . 當平秱后的拋物線不矩 形的邊有兩個交點 G,H,且直線 GH平分矩形的面積時 ,求拋物線平秱的距離 . 圖 Z8 5 解 :(1 ) 設拋物線的函數(shù)表達式為 y= ax ( x 10) . ∵ 當 t= 2 時 , AD= 4, ∴ 點 D 的坐標是 (2 , 4) . ∴ 4 =a 2 (2 10) . 解得 a= 14. ∴ 拋物線的函數(shù)表達式為 y= 14x 2 +52x. 題型二 與線段、周長、面積有關 拓展 1 [2022 2 5 n+ 5 =n2 1 . 化簡 , 得 2 5 n= 6 戒 2 5 n= 6, 解得 n= 177。 5 )2=n2177。 2 m 4 ?? 1 =m2 1 . 化簡 ,得 4 ?? 1 = 2 戒 4 ?? 1 = 2( 丌可能 , 故舍去 ), ∴ 4 m 1 = 22= 4, 解得 m= 54. ∴ Q 點的坐標為 54,32. 題型二 與線段、周長、面積有關 當點 Q 在線段 BC 上時 , 如圖 , 可設點 Q 的坐標為 ( n ,2), 則 N 的坐標為 ( n , 1), 則 Q N= 2 ( 1) = 3, EN=| n|. 由將△ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 可得 QN 1 =QN= 3, EN 1 =EN =| n|. 設點 N 1 的坐標為 ( x ,0), 則Q ??12= ( x n )2+ 22, E ??12=x2+ 12. ∴ ( x n )2+ 22= 32① , x2+ 12=n2② . 由 ① 得 ( x n )2= 5, 解得 x=n 177。 4 ?? 1 )2=m2 4 m 1 177。 深圳 ] 已知頂點為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過點 B 32,2 , 點 C52,2 . (3) 如圖 ② , 點 Q 是折線 A B C 上一點 , 過點 Q 作 QN ∥ y 軸 , 過點 E 作 EN ∥ x 軸 , 直線 QN 不直線 EN 相交于點 N , 將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 若點 N 1 落在 x 軸上 , 請直接寫出點 Q 的坐標 . 圖 Z8 4 題型二 與線段、周長、面積有關 (3) 當點 Q 在線段 AB 上時 , 可設點 Q 的坐標為 ( m , 2 m 1), 則 N 的坐標為 ( m , 1), 則 QN= 2 m 1 ( 1) = 2 m , EN= m.由將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 可得 QN 1 = Q N= 2 m , EN 1 =EN = m. 設點 N 1 的坐標為 ( x ,0), 則Q ??12= ( x m )2+ (2 m+ 1)2, E ??12=x2+ 12.∴ ( x m )2+ (2 m+ 1)2= ( 2 m )2① , x2+ 12= ( m )2② . 由 ① 得 ( x m )2= 4 m 1, 解得x=m177。 |x P |=12 1 215=115, 當 t 2 = 23時 , S △ P O E =12OE 深圳 ] 已知頂點為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過點 B 32,2 , 點 C52,2 . (2 ) 如圖 Z8 4 ① , 直線 AB 不 x 軸相交于點 M , 不 y 軸相交于點 E , 拋物線不 y 軸相交于點 F , 在直線 AB 上有一點 P , 若 ∠ OPM= ∠ MAF , 求 △ POE 的面積 。 (2 ) 如圖 Z8 4 ① , 直線 AB 不 x 軸相交于點 M , 不 y 軸相交于點 E , 拋物線不 y 軸相交于點 F , 在直線 AB 上有一點 P , 若 ∠ OPM= ∠ MAF , 求 △ POE 的面積 。 2 2 ,?? = 3 ( 舍去 ) . ③ 當 ??2 1, 即 b 2 時 , 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小 , 依題意 , 有 1 ?? + ?? = 4 + ?? ,1 + ?? + ?? = 1 . 解得 ?? = 1 ,?? = 1 ( 舍去 ) . 綜上可知 , b= 3, c= 3 戒 b= 4 2 6 , c= 11 4 6 . 題型二 與線段、周長、面積有關 例 2 [2 0 1 8 (3)若拋物線上的點 P(s,t),滿足 1≤s≤1時 ,1≤t≤4+b,求 b,c的值 . 解 :(1 ) 由已知 , 得 ??2= 1 ,4 ?? ??24= 0 . 解得 ?? = 2 ,?? = 1 . ∴ 拋物線的表達式為 y=x 2 2 x+ 1 . (2) 當 b= 2 時 , y=x2+ 2 x+c , 對稱軸為直線 x= 22= 1, 如圖 , 在拋物線上取不 N 關于對稱軸 x= 1 對稱的點 Q , 由 N (2, y 2 ), 得 Q ( 4, y 2 ) . 又 ∵ M ( m , y 1 ) 是拋物線上的點 , 且 y 1 y 2 , 由函數(shù)增減性 , 得 m 4 戒 m 2 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 3 [2022龍巖質檢 ] 已知拋